作业帮已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,EF分别是AC,AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=入（入属于0到1）.1求,不论入为何值,总有平面BEF⊥平面ABC 2,当入为何值时,平面BEF⊥平面ACD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 11:01:22
已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,EF分别是AC,AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=入（入属于0到1）.1求,不论入为何值,总有平面BEF⊥平面ABC 2,当入为何值时,平面BEF⊥平面ACD
已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,EF分别是AC,AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=入（入属于0到1）.1求,不论入为何值,总有平面BEF⊥平面ABC 2,当入为何值时,平面BEF⊥平面ACD
已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,EF分别是AC,AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=入（入属于0到1）.1求,不论入为何值,总有平面BEF⊥平面ABC 2,当入为何值时,平面BEF⊥平面ACD
1、在三角形ACD中,
∵AE/AC=AF/AD=λ,
∴EF//CD,
而〈BCD=90度,
即CD⊥BC,
∴EF⊥BC,
∵AB⊥平面BCD,CD∈平面BCD,
∴AB⊥CD,
∵AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC,
∵BE∈平面ABC,
∴CD⊥BE,
∵EF//CD,
∴EF⊥BE,
∵BE∩BC=B,
∴EF⊥平面ABC,
∵EF∈平面EFB,
∴平面BEF⊥平面ABC .
2、在平面ABC上,作BE⊥AC,在平面ACD上作EF//CD,
由上所述,EF⊥平面ABC,BE∈平面ABC,
BE⊥EF,
AC∩EF=E,
BE⊥平面ACD,
BE∈平面BEF,
平面BEF⊥平面ACD ,
BC=CD=1,
〈BCD=90度,
BD=√2,
〈ABD=90度,
tan<ADB=AB/BD,
AB=√6,
AD=2BD=2√2,
△ABC是RT△,
根据勾股定理,
AC=√7,
BE*AC/1=AB*BC/2=S△ABC,
BE=√42/7,
根据直角三角形射影定理,（直角边是其射影和斜边的比例中项）,
AB^2=AE*AC,
AE=6√7/7,
λ=AE/AC=（6√7/7）/√7
=6/7,
即当λ=6/7时平面BEF⊥平面ACD .
1、在三角形ACD中，
∵AE/AC=AF/AD=λ，
∴EF//CD，
而〈BCD=90度，
即CD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AB⊥平面BCD，CD∈平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵BE∈平面ABC，
∴CD⊥BE，
∵EF//CD，
∴EF⊥BE，...
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1、在三角形ACD中，
∵AE/AC=AF/AD=λ，
∴EF//CD，
而〈BCD=90度，
即CD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AB⊥平面BCD，CD∈平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵BE∈平面ABC，
∴CD⊥BE，
∵EF//CD，
∴EF⊥BE，
∵BE∩BC=B，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF∈平面EFB，
∴平面BEF⊥平面ABC 。
2、在平面ABC上，作BE⊥AC，在平面ACD上作EF//CD，
由上所述，EF⊥平面ABC，BE∈平面ABC，
BE⊥EF，
AC∩EF=E，
BE⊥平面ACD，
BE∈平面BEF，
平面BEF⊥平面ACD ，
BC=CD=1，
〈BCD=90度，
BD=√2，
〈ABD=90度，
tan
AD=2BD=2√2,
△ABC是RT△，
根据勾股定理，
AC=√7,
BE*AC/1=AB*BC/2=S△ABC，
BE=√42/7，
根据直角三角形射影定理，（直角边是其射影和斜边的比例中项），
AB^2=AE*AC,
AE=6√7/7,
λ=AE/AC=（6√7/7）/√7
=6/7，
即当λ=6/7时平面BEF⊥平面ACD 。
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