作业帮三角形ABC中,∠A=60°,且最大边和最小边长恰好是方程想……x^2-7x+11=0的两根,则第三边的边长为~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:04:52
三角形ABC中,∠A=60°,且最大边和最小边长恰好是方程想……x^2-7x+11=0的两根,则第三边的边长为~
三角形ABC中,∠A=60°,且最大边和最小边长恰好是方程想……x^2-7x+11=0的两根,则第三边的边长为~
三角形ABC中,∠A=60°,且最大边和最小边长恰好是方程想……x^2-7x+11=0的两根,则第三边的边长为~
设最大边为a 最小边为c
a c为x^2-7x+11=0的两根
a+c=7 ac=11
易得a不等于c
又因为∠A=60°
所以∠A 必是第三边所对的角
根据余弦定理 设第三边为c
有cos∠A=（a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2
a^2+b^2-c^2=ab
c^2=a^2+b^2-ab
=(a^2+2ab+b^2)-3ab
=(a+b)^2-3ab
=7*7-33
=16
所以c=4
先解出x^2-7x+11=0的两个实根：
利用配方法：
(x-7/2)^2-49/4+11=0
(x-7/2)^2-5/4=0
x1=7/2+5^(1/2)/2
x2=7/2-5^(1/2)/2
设x1为三角形ABC的最大边，x2即为最小边。
再来分析角A属于哪一边所对的角：
显然，A不是最大边所对的角，否则，其余两角之和<120度，...
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先解出x^2-7x+11=0的两个实根：
利用配方法：
(x-7/2)^2-49/4+11=0
(x-7/2)^2-5/4=0
x1=7/2+5^(1/2)/2
x2=7/2-5^(1/2)/2
设x1为三角形ABC的最大边，x2即为最小边。
再来分析角A属于哪一边所对的角：
显然，A不是最大边所对的角，否则，其余两角之和<120度，这是不可能的；A也不是最小边所对的角，否则，其余两内角之和>120度,这也是不可能的。因此，A即所求低三边所对的角。
设第三边为X,
因，(x1-x2)
X^2=x1^2+x^2-2x1x2cosA
=[7/2+5^(1/2)/2]^2+[7/2-5^(1/2)/2]^2-2(7/2+5(1/2)/2]*[7/2-5^(1/2)/2]*cos60
={[7/2+5^(1/2)/2]-[7/2-5^(1/2)/2]}^2+[7/2+5^(1/2)/2][7/2-5^(1/2)/2]
=[5^(1/2)]^2+{[(7/2)^2-5^(1/2)/2]^2
=5+11
即，X^2=16
故，X=4
答：所求第三边边长为4
注：这里有点解题技巧：
X^2=x1^2+x2^2-x1x2 变为：(x1-x2)^2+x1x2,这样就把共轭根式有理化，解题大大简化了。
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可设∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.因∠A=60º,故由“大边对大角，大角对大边”及∠A+∠B+∠C=180º可知，边a既非最大边，也非最小边。而是要求的第三边。由题设及韦达定理知，b+c=7,bc=11.再由余弦定理知cos∠A=(b²+c²-a²)/(2bc)及题设可知,1/2=[(b+c)²-a²-2bc]/(2b...
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可设∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.因∠A=60º,故由“大边对大角，大角对大边”及∠A+∠B+∠C=180º可知，边a既非最大边，也非最小边。而是要求的第三边。由题设及韦达定理知，b+c=7,bc=11.再由余弦定理知cos∠A=(b²+c²-a²)/(2bc)及题设可知,1/2=[(b+c)²-a²-2bc]/(2bc).===>a²=(b+c)²-3bc=49-33=16.===>a=4.
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