作业帮已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且（a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.求（a+c)(b+c)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 09:39:39
已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且（a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.求（a+c)(b+c)的值
已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且（a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.求（a+c)(b+c)的值
已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且（a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.求（a+c)(b+c)的值
分析：（a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1
构造方程（x+c)(x+d)=1
展开方程,整理得： x²+(c+d)x+cd-1=0
由韦达定理,得： a+b=-(c+d) 即a+d=-(b+c)
∴(a+c)(b+c)=-(a+c)(a+d)=-1
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(a+c)(a+d)=1
(b+c)(b+d)=1
a^2＋(c+d)a+(cd-1)=0
b^2+(c+d)b+(cd-1)=0
a,b是关于x的一元2次方程
x^2+(c+d)x+(cd-1)=0的2根
韦达定理
a+b=-(c+d)
ab=cd-1
(a+c)(b+c)=c(a+b)+cc+ab
=-c(c+d)+cc+cd-1
=-1
由（a+c)(a+d)=1得a^2+ac+ad+cd=1(1)
由(b+c)(b+d)=1得b^2+bc+bd+cd=1 (2)
两式相减得a^2-b^2+ac+ad-bc-bd=0
分解因式得(a+b)(a-b)+(a-b)(c+d)=0
即(a-b)([(a+b)+(c+d)]=0
因为a,b不等，所以a-b不等于0，所以a+c=-(b+d)
所以(a+c)*(b+c)=-(b+d)(b+c)=-1
解:
∵(a+c)(a+d)=1, 即a^2+ad+ac+cd=1;①
(b+c)(b+d)=1, 即b^2+bd+bc+cd=1;②
∴①-②=(a^2+ad+ac+cd)-(b^2+bd+bc+cd)=0
即 (a^2-b^2)+(ad-bd)+(ac-bc)+(cd-cd)=0
(a+b)(a-b)+(c+d)(a-b)=0
a+b+c+d=0
a+d=-(b+c)
∴(a+c)(b+c)=-(a+c)(a+d)=-1