作业帮一道数学空间几何题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 16:43:47
一道数学空间几何题
一道数学空间几何题
一道数学空间几何题
(1)解析：∵P,Q,R分别是AB,BC,CD中点,BD=2√5,AC=4
连接PR,PQ,QR
∴QR//BD,QR=1/2BD=√5；PQ//AC,PQ=1/2AC=2
∴∠PQR就是AC与BD所成角
∵PR=3
由余弦定理cos∠PQR=(QR^2+QP^2-PR^2)/(2QR*QP)=(5+4-9)/(4√5)=0
∴AC与BD所成角为90°
(2)解析：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,M,N为A1B1,BB1中点
取D1C1,CC1,DC中点P,Q,R
连接B1Q,∴B1Q//CN
连接PR,∴PR⊥底面ABCD
取PR中点S
连接MS,∴MS//B1Q
∴∠AMS为AM与CN所成角
连接AS
AM=MS=√5/2,AS=√(5/4+1/4)= √6/2
∴cos∠AMS=(AM^2+MS^2-AS^2)/(2MA*MS)=1/(5/2)=2/5
取AM中点S，DR中点T,连接ST, 则ST//NC， AS=sqrt(5)/4, ST=sqrt(5)/2,AT=sqrt(17)/4, 根据余弦定理cos(AST)=(AS^2+ST^2-AT^2)/2AS*ST=2/5
(1) 在∆PQR中，PR=3, PQ=1/2*AC=2,
QR=1/2*BD=√5
2^2+(√5)^2=3^2, 所以PQ⊥QR, 得AC⊥BD
(2) 连接PB1, 取BP中点L，连接NL, NL∥PB1∥AM,
所以∠CNL为所求角，记为θ
在∆CNL中，NC=√5...
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(1) 在∆PQR中，PR=3, PQ=1/2*AC=2,
QR=1/2*BD=√5
2^2+(√5)^2=3^2, 所以PQ⊥QR, 得AC⊥BD
(2) 连接PB1, 取BP中点L，连接NL, NL∥PB1∥AM,
所以∠CNL为所求角，记为θ
在∆CNL中，NC=√5/2, NL=1/2PB1=√5/4,
CL=√17/4
COSθ=(NC^2+NL^2-CL^2)/(2*NC*NL)
=(5/4+5/16-17/16)/(5/4)=2/5
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