∫ x^3 sin^4(x)dx 请问怎么求这个不定积分呢...RT..

∫ x^3 sin^4(x)dx 请问怎么求这个不定积分呢...RT..
∫ x^3 sin^4(x)dx 请问怎么求这个不定积分呢...
RT..

∫ x^3 sin^4(x)dx 请问怎么求这个不定积分呢...RT..
∵∫x³cos(4x)dx=x³sin(4x)/4-3/4∫ x²sin(4x)dx (应用分部积分法)
=x³sin(4x)/4+3x²cos(4x)/16-3/8∫xcos(4x)dx (同上)
=x³sin(4x)/4+3x²cos(4x)/16-3xsin(4x)/32+3/32∫ sin(4x)dx (同上)
=x³sin(4x)/4+3x²cos(4x)/16-3xsin(4x)/32-3cos(4x)/128+C1
同理可得∫x³cos(2x)dx=x³sin(2x)/2+3x²cos(2x)/4-3xsin(2x)/4-3cos(2x)/8+C2
∴∫ x³sin^4(x)dx=∫x³[3/8-cos(2x)/2+cos(4x)/8]dx (应用半角公式)
=3/8∫x³dx-1/2∫x³cos(2x)dx+1/8∫x³cos(4x)dx
=3x^4/32-1/2[x³sin(2x)/2+3x²cos(2x)/4-3xsin(2x)/4-3cos(2x)/8]+1/8[x³sin(4x)/4+3x²cos(4x)/16-3xsin(4x)/32-3cos(4x)/128]+C
(C是积分常数)
=3x^4/32+[sin(4x)/32-sin(2x)/4]x³+3[cos(4x)/128-cos(2x)/8]x²+3[sin(2x)/8-sin(4x)/256]x+3[cos(2x)/16-cos(4x)/1024]+C.

这要逐个积分了,过程有点乱,总之都用分部积分法吧
∫x³sin^4x dx
=1/4*∫x³(1-cos2x)² dx
=1/4*∫(x³+x³cos²2x-2x³cos2x) dx
=1/4*∫x³ dx+1/4*∫x³cos²2x dx-1/2*∫x³c...

全部展开

这要逐个积分了,过程有点乱,总之都用分部积分法吧
∫x³sin^4x dx
=1/4*∫x³(1-cos2x)² dx
=1/4*∫(x³+x³cos²2x-2x³cos2x) dx
=1/4*∫x³ dx+1/4*∫x³cos²2x dx-1/2*∫x³cos2x dx
第一部分:1/4*∫x³ dx=1/4*x^4/4=x^4/16+C1
第二部分:1/4*∫x³cos²2x dx
=1/4*∫x³*1/2*(1+cos4x) dx
=1/8*∫(x³+x³cos4x) dx
=1/32*x^4+1/8*∫x³cos4x dx...①
对于1/8*∫x³cos4x dx
=1/8*∫x³ d(1/4*sin4x)=1/32*∫x³ d(sin4x)
=1/32*[x³sin4x-∫sin4x d(x³)]
=1/32*x³sin4x-3/32*∫x²sin4x dx...②
对于-3/32*∫x²sin4x dx
=-3/32*∫x² d(-1/4*cos4x)=3/128*∫x² d(cos4x)
=3/128*[x²cos4x-∫cos4x d(x²)]
=3/128*x²cos4x-3/64*∫xcos4x dx...③
对于-3/64*∫xcos4x dx
=-3/64*∫x d(1/4*sin4x)=-3/256*∫x d(sin4x)
=-3/256*[xsin4x-∫sin4x dx]
=-3/256*xsin4x+3/256*∫sin4x dx
=-3/256*xsin4x+3/256*1/4*(-cos4x)
=-3/256*xsin4x-3/1024*cos4x...④
结合①②③④,第二部分为
(1/32)x^4+(1/32)x³sin4x+(3/128)x²cos4x-(3/256)xsin4x-(3/1024)cos4x+C2
第三部分:-1/2*∫x³cos2x dx
=-1/2*∫x³ d(1/2*sin2x)=-1/4*∫x³ d(sin2x)
=-1/4*[x³sin2x-∫sin2x d(x³)]
=-1/4*x³sin2x+3/4*∫x²sin2x dx...①
对于3/4*∫x²sin2x dx
=3/4*∫x² d(-1/2*cos2x)=-3/8*∫x² d(cos2x)
=-3/8*[x²cos2x-∫cos2x d(x²)]
=-3/8*x²cos2x+3/4*∫xcos2x dx...②
对于3/4*∫xcos2x dx
=3/4*∫x d(1/2*sin2x)=3/8*∫x d(sin2x)
=3/8*[xsin2x-∫sin2x dx]
=3/8*xsin2x-3/16*(-cos2x)
=3/8*xsin2x+3/16*cos2x...③
结合①②③,第三部分为
-1/4*x³sin2x-3/8*x²cos2x+3/8*xsin2x+3/16*cos2x+C3
将三个部分结合得结果为
(3/32)x^4-(1/4)x³sin2x+(1/32)x³sin4x-(3/8)x²cos2x+(3/128)x²cos4x+(3/8)xsin2x-(3/256)xsin4x+(3/16)cos2x-(3/1024)cos4x+C

收起

用分部积分吧，(uv)'=u'v+uv'，于是uv=∫u'v+∫uv'，∫uv'=uv-∫u'v…
应该有用，就不算了…
（手机打积分号好难啊…::>_<::）