概率计算题设X~N(u ,v^2),求X的三阶和四阶中心距.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/14 21:38:02

概率计算题设X~N(u ,v^2),求X的三阶和四阶中心距.
概率计算题
设X~N(u ,v^2),求X的三阶和四阶中心距.

概率计算题设X~N(u ,v^2),求X的三阶和四阶中心距.
首先写出正态分布函数的表达式：x=1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2} (exp表示e为底的指数）
n阶中心距定义为=E{[X-E（X）^n]},其中X为随机变量,E为期望,根据期望的定义
正态分布E（X）=∫x*1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx=u,其中上下限为+-无穷
n阶中心距时 E{[X-E（X）^n]},因此上面的x应该替换成x-E（x)=x-u
所以n阶中心距=∫(x-u)^n*1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx,其中这里上下限为+-无穷
=1/（v*√2π)*∫(x-u)^n*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx
对这个积分进行换元,让t=(x-u)/(√2*v),则积分可以化为
{[(√2v）^n]/√π}*∫t^n*e^(-t^2)dt,上下限不变
当n为奇数的时候,n阶中心距=0
当n为偶数的时候,n阶中心距=(n-1)*v^2*u^(n-2),这个对前面∫t^n*e^(-t^2)dt 用分部积分公式就可以求出积分了.
n阶中心距=(n-1)*v^2*u^(n-2）=v^n*(n-1)*(n-3)*.*1
所以就求出了n阶中心距的通式,那么3阶为0 ,4阶为3v^4.

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