作业帮高中导数题求救~f(x)=(x+1)In(x+1)设函数f(x)=(x+1)In(x+1),对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 20:45:10
高中导数题求救~f(x)=(x+1)In(x+1)设函数f(x)=(x+1)In(x+1),对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立,求a的范围
高中导数题求救~f(x)=(x+1)In(x+1)
设函数f(x)=(x+1)In(x+1),对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立,求a的范围
高中导数题求救~f(x)=(x+1)In(x+1)设函数f(x)=(x+1)In(x+1),对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立,求a的范围
要使对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立,
则f(x)-ax的最小值>=0
x=0时,f(0)-a*0=0
则当x>=0时f(x)-ax的最小值为当x=0时
f（x）-ax求导得g(x)=1-a+ln(x+1)
则x>=0必在f(x)单调递增的区域
当g(x)=0时,x=-1+exp(a-1)
f(x)>=ax
若x=0,则必有
0≥0，a∈R
若x≠0则有
a≤f(x)/x
a≤ln(x+1)(1+1/x)
设k(x)=ln(x+1)(1+1/x)
当k`(x)=1/x-ln(x+1)/(x^2)≥0时
化简即有
x>ln(x+1)
此时设h(x)=x-ln(x+1)
h`(x)=1-1/(x+1)...
全部展开
f(x)>=ax
若x=0,则必有
0≥0，a∈R
若x≠0则有
a≤f(x)/x
a≤ln(x+1)(1+1/x)
设k(x)=ln(x+1)(1+1/x)
当k`(x)=1/x-ln(x+1)/(x^2)≥0时
化简即有
x>ln(x+1)
此时设h(x)=x-ln(x+1)
h`(x)=1-1/(x+1)
当x>=0，h`(x)≥0
所以k`(x)单调递增
k`(x)≥k`(0)=0
∴k(x)单调递增
a≤k(x)min趋向于k(0)
k(x)=ln(x+1)(1+1/x)=ln(x+1)+ln(x+1)/x
当x趋向于0时，
∵ lim(x->0) ln(x+1)/x
= lim(x->0) [1/(x+1)]/1 【罗必塔法则】
=1
故a≤1
收起
(1) f(x)=(x+1)In(x+1)
f'(x)=ln(x+1)+(x+1)*[1/(x+1)]=ln(x+1)+1+C
(2) 因为对于任何x≥0 f'(x)＞0
所以f(x)是增函数
则当x≥0时 f(x)≥0
对于任何x>=0,都有f(x)>=ax成立
得ax≤0 a≤0
a<=1
a<=1