图形解不等式难题x,y,z为正实数,证明:√(x^2+y^2+xy)+√(y^2+z^2+yz)>√(x^2+z^2+xz)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 01:44:31
图形解不等式难题x,y,z为正实数,证明:√(x^2+y^2+xy)+√(y^2+z^2+yz)>√(x^2+z^2+xz)
图形解不等式难题
x,y,z为正实数,证明:√(x^2+y^2+xy)+√(y^2+z^2+yz)>√(x^2+z^2+xz)
图形解不等式难题x,y,z为正实数,证明:√(x^2+y^2+xy)+√(y^2+z^2+yz)>√(x^2+z^2+xz)
以点O为顶点,作角AOB=角BOC=角COA=120°
并使OA=x,OB=y,OC=z
连接AB、BC、CA
则由余弦定理知:
√(x^2+y^2+xy)=AB
√(y^2+z^2+yz)=BC
√(x^2+z^2+xz) =CA
而A、B、C构成三角形,则由三角形任意两边大于第三边知:
√(x^2+y^2+xy)+√(y^2+z^2+yz)>√(x^2+z^2+xz)
首先利用均值不等式:xy小于等于(x+y)^2/4 同理可证xz 和 yz
然后在√(x^2+y^2+xy)里配方 就是+1个xy 再-一个xy 可得根号下(x+y)^2-xy 因为xy小于等于(x+y)^2/4 所以第一个根号下的最大值就是根3/2(x+y)
同理可证后面的2个~~然后合并同类项~~再移项~~~就可得2y>0!由已知可得此式成立~所以~~~~就成立了! ...
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首先利用均值不等式:xy小于等于(x+y)^2/4 同理可证xz 和 yz
然后在√(x^2+y^2+xy)里配方 就是+1个xy 再-一个xy 可得根号下(x+y)^2-xy 因为xy小于等于(x+y)^2/4 所以第一个根号下的最大值就是根3/2(x+y)
同理可证后面的2个~~然后合并同类项~~再移项~~~就可得2y>0!由已知可得此式成立~所以~~~~就成立了! 楼上的真有才~利用数形结合的方法~~也不错哦~
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