x,y>0,且2/x+8/y=1,求xy的最值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 21:34:36

x,y>0,且2/x+8/y=1,求xy的最值.
x,y>0,且2/x+8/y=1,求xy的最值.

x,y>0,且2/x+8/y=1,求xy的最值.
xy=xy*1
=xy(2/x+8/y)
=2y+8x
=(8x+2y)*1
=(8x+2y)*(2/x+8/y)
=16+4y/x+64x/y+16
=32+4y/x+64x/y
>=32+2根号[(4y/x)*(64x/y)]
=32+32
=64
当且仅当4y/x=64x/y时,即x=4,y=16时等号成立.
所以xy的最小值为64,无最大值.

2/x+8/y=1
8/y=1-2/x=(x-2)/x
y=8x/(x-2)
xy=8x^2/(x-2)=8x+16/(x-2)=8(x-2)+16/(x-2)+16
2/x=1-8/y<1,x>2,x-2>0
xy>=2*(8*16)^(1/2)+16=16*[2^(1/2)+1]

1=2/x+8/y>=8/(xy)^(1/2)所以xy>=64,当且仅当2/x=8/y=1/2即x=4,y=16时等号成立
又x→2,y→+∞时xy→+∞
所以xy有最小值64,没有最大值

因为x,y>0,所以1=2/x+8/y>=2sqrt(16/xy),解得xy>=64,当且仅当2/x=8/y,即x=4,y=16时取最小值64.