一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求求此时水面的高度帮帮忙吧,我只求出剩余水的体积,然后就卡着了,不知道该如何去
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 01:55:15
一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求求此时水面的高度帮帮忙吧,我只求出剩余水的体积,然后就卡着了,不知道该如何去
一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求
求此时水面的高度
帮帮忙吧,我只求出剩余水的体积,然后就卡着了,不知道该如何去求了
一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求求此时水面的高度帮帮忙吧,我只求出剩余水的体积,然后就卡着了,不知道该如何去
解
由于半径为R的球与圆锥与底面、侧面都相切
设等边圆锥的地面圆的直径和母线的长均为2a(圆锥的地面半径为a)
圆锥正切面(过地面直径和顶点的切面)的三角形为等边三角形
且等边三角形的各边长为2R,各个角均为60°
则圆锥的高为h=√3a
圆锥的体积为V1=(1/3)πa²(√3a)=(√3/3)πa³
由于半径为R的球与圆锥与底面、侧面都相切
所以R就是等边三角形的内切圆
所以R=(1/3)h=(√3/3)a
a=√3R
所以球的体积V2=(4/3)πR³=(4/3)π[ (√3/3)a]³= (4√3/27)πa³
所以剩余水的体积V3=V1-V2=(√3/3)πa³-(4√3/27)πa³
=(5√3/27)πa³=(5√3/27)π(√3R)³=5 R³/3
设剩余水的高度为x
则剩余水圆锥的地面半径r=(√3/3)x (解顶角为60°的等腰△)
剩余水的体积V3=(1/3)π[(√3/3)x ]²x=(1/9)πx³
V3=V3
即(1/9)πx³=5 R³/3
解得x=15^(1/3)R——15开立方乘以R
即水面的高度为15^(1/3)R=2.47R