作业帮直线l:x+ky-1=0与圆C(x-2)^2+(y-1)^2=4交于A,B两点求|AB|最大或最小时l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:52:43
直线l:x+ky-1=0与圆C(x-2)^2+(y-1)^2=4交于A,B两点求|AB|最大或最小时l的方程
直线l:x+ky-1=0与圆C(x-2)^2+(y-1)^2=4交于A,B两点
求|AB|最大或最小时l的方程
直线l:x+ky-1=0与圆C(x-2)^2+(y-1)^2=4交于A,B两点求|AB|最大或最小时l的方程
当直线过园的圆心时,|AB|最大为圆直径
则因为圆心为（2,1）
所以
2+k*1-1=0 则k=-1
所以直线方程为：x-y+1=0,|AB|最大为4
当与圆C(x-2)^2+(y-1)^2=4相交时.|AB|最小
圆心到直线距离最大时,|AB|最小
|2+k-1|/√(1+k^2)
=|k+1|/√(k^2+1）
=[k^2+2k+1/(k^2+1）]^1/2
=[1+2k/(k^2+1）]^1/2
因为2k<=1+k^2
当2k=1+k^2时,[1+2k/(k^2+1）]^1/2取得最大值
则k=1,则[1+2k/(k^2+1）]^1/2取得最大值√2
所以|AB|最小为√（2^2-(√2)^2=√2
当直线AB过圆心时有最大值，所以得出AB:x-y-1=0.与圆的方程联立，得：
x^2-4x+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理可得，x1+x2=4,x1x2=2,
/AB/=/x1-x2/√k^2+1=4.
联力直线AB与圆的方程，得：y^2(k^2+1)+y(2k-2)-2=0,
y1+y2=2-2k/k^2+1,y1y2=-2/k^2+...
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当直线AB过圆心时有最大值，所以得出AB:x-y-1=0.与圆的方程联立，得：
x^2-4x+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理可得，x1+x2=4,x1x2=2,
/AB/=/x1-x2/√k^2+1=4.
联力直线AB与圆的方程，得：y^2(k^2+1)+y(2k-2)-2=0,
y1+y2=2-2k/k^2+1,y1y2=-2/k^2+1,/AB/=2√3-(2/(1/k+k))>>2√2,当且仅当k=1时取等号，有
/AB/的最小值2√2.AB:x+y-1=0.
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