P是△ABC内的一点,引线段APD,BPE,CPF,使D在BC上,E在AC上,F在AB上.已知AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20,求△ABC的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 02:52:17
P是△ABC内的一点,引线段APD,BPE,CPF,使D在BC上,E在AC上,F在AB上.已知AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20,求△ABC的面积
P是△ABC内的一点,引线段APD,BPE,CPF,使D在BC上,E在AC上,F在AB上.已知AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20,求△ABC的面积
P是△ABC内的一点,引线段APD,BPE,CPF,使D在BC上,E在AC上,F在AB上.已知AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20,求△ABC的面积
解1:过A作BC的平行线分别交BE、CF的延长线于G、H
AP=PD ==>AG=BD,
BP=PG=9 ==>EG=9-3=6 ==>AG:BC=EG:BE=6:12=1/2 ==>D为BC中点
同理:AH=CD=BC/2 ==>FH=CF/2=10 ==>CP=(10+20)/2=15
又AG∥=CD ==>CG=AD=12
△CPG中,PG²+CG²=9²+12²=15²=CP² ==>∠CGP是直角 ==>S△ABC=S△GBC=CG•BG/2=12•18/2=108
解2:因AD、BE、CF交于P,
故PD/AD+PE/BE+PF/CF=(△PBC的面积+△PCA的面积+△PAB的面积)/△ABC的面积=1,
∴6/12+3/12+PF/20=1,PF=5,CP=15.
由梅涅劳斯定理,BD/DC*CP/PF*FA/AB=1,
且BC/CD*DP/PA*AF/FB=1,
∴BD/DC=(1/3)(AF+FB)/FA=(1/3)(1+FB/FA),
且FB/FA=(BD+DC)/CD=BD/CD+1,
把后者代入前者,得BD/CD=(1/3)(2+BD/CD),
解得BD/CD=1,
BD=CD.
过D作DM∥CP交BP于M,
则DM=CP/2=7.5,
MP=BP/2=4.5,
DP=6,
∴MP:DP:MP=3:4:5,
所以∠PDM=90°,
∴△DPM的面积=DP*PM/2=13.5.
∴△ABC的面积=2△PBC的面积=4△DPB的面积=8△DPM的面积=108.