导弹发射问题 （数学建模）我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将

导弹发射问题 （数学建模）我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将
导弹发射问题 （数学建模）
我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）.假定雷达发现敌机时,该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处,并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后.导弹将失去追踪目标,无法将其击毁）.在适当的假设下,确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件.
2、若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II型地对空追踪导弹截击敌机,假定敌机始终距地面高度为h公里飞行,其他假定同情况1中所述,重新确定此时II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件.
3、若敌机的飞行速度 v 、其位置 N 和追踪导弹速度 u 均为给定的常数；针对情况1中敌机被导弹击中的条件下,给出一个计算机编程的算法及相关程序,以计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机的位置.据此,在 v = 1 马赫数 ,N = 100公里 ,u = 2马赫数 时,利用上述的程序算出具体敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置.
4、若追踪轨迹确定时,导弹击毁敌机还存在随机性,导弹飞行的路程越长,其击毁敌机的概率越小,试重新讨论情况1中的问题.

导弹发射问题 （数学建模）我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将
导弹发射问题（B题）
摘 要
论文讨论的是导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件,建立微分方程模型,是一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程,然后用分离变量法求解.得到所求的方程表达式,因而得到导弹追踪敌机的轨迹方程,通过分析在给定不同的速度条件下的轨迹方程,得到发射I型空对空导弹击毁敌机的条件.通过模型的建立及求解过程,我们得出导弹追踪敌机的轨迹,分三种情况：
1、若 , ,得

此时导弹能击中敌机,击中敌机所用时间为 ,当时敌机被击毁的位置为
2、若 , ,得

此时导弹无法击中敌机
3、若 , ,此时导弹也无法击中敌机
当敌机的飞行速度v = 1 马赫数,其位置N = 100公里, 追踪导弹速度u = 2马赫数时（1 马赫数=1224千米／时,1公里=1千米）,敌机被击中的时刻66.67小时以及当时敌机被击毁的位置为距敌机逃逸时的地点66.67公里处.

在建立模型时,把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.我们根据曲线的切线性质,列出常微分方程,求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.

主要思想是通过模型把两个物体都理想化为质点将问题转化为平面问题,根据相应的规律,列出常微分方程,将复杂的问题转化为求微分方程解的形式.为得到发射I型空对空导弹击毁敌机的条件,我们对影响微分方程解的最主要因素——敌机和导弹的速度大小进行讨论,使问题得到解决.

关键词：曲线的切线性质、微分方程模型、分离变量法、降阶法

1、 问题的重述：
我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）.假定雷达发现敌机时,该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处,并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后.导弹将失去追踪目标,无法将其击毁）.在适当的假设下,确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件.
当给定敌机的飞行速度 v 、其位置 N 和追踪导弹速度 u 的数值时,算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置.

2、 模型的假设：
2.1导弹追踪敌机问题通过二维坐标系建立起来
因为我方战斗机与敌机处于同一高度,且导弹与敌机的大小与他们的运动范围小得多,故将他们视为同一平面的两个质点,建立xoy直角坐标系.
2.2导弹追踪路径与拦截敌机的关系
因为导弹可针对目标随时自动调节追踪方向,故导弹运动轨迹上的一点与敌机运动轨迹上的一点这两点的连线与导弹运动轨迹相切,又因为要以最短的时间逃逸到安全区,可假设敌机的运动轨迹为直线.根据几何关系建立函数关系式,利用微分与积分学解得导弹追踪敌机的路径方程.

3、 模型的建立：
设处于指挥部正上方的巡逻机位置为（0,0）点,x轴的正方向为正东,y轴的正方向为正北,敌机的运动路径为直线x=N,从巡逻机开始发射导弹时计时（此时敌机正处于（N,0)点）.
引入参数：导弹的速度为u马赫数,敌机的速度为v马赫数,时间为t小时.设经过时间t后敌机在R点,导弹在D点,此时直线RD与导弹路径相切,切点为D.若导弹成功拦截敌机则导弹路径曲线与直线x=N的交点在点（N,M)的正下方.
分析在给定不同的速度条件下,得出关于x,y的函数.讨论分为vu这三种情况.

4、 模型的求
设从我方发现敌机时算起经时间 ,敌机到达R（N, ）,导弹到达D（ , ）,DR与导弹的路径相切,由几何关系得：
（1）
为消去 ,（1）式对 微分,得 （2）
代入 , 为导弹的位移
（3）
结合（1）、（2）式,得导弹轨迹的微分方程
, （4）
,
令 , ,则 （5）
对（5）式两端积分并利用初始条件： , 得
, （6）
要求 是 怎样的一个函数,必须进一步确定
1、若 , ,积分（6）式,得

当 时,得到导弹击中敌机时敌机所走过的位移为
所用时间为
2、若 , ,由（6）式,得

显然 不能取N,此时导弹无法击中敌机
3、若 , ,显然此时导弹也无法击中敌机

5、结果分析、检验：
此模型将问题转化为二围平面问题,使问题简单明了,利用几何关系---曲线的相切性质列出常微分方程,利用微分与积分学求解方程,简化了计算过程,快速方便的得出所需结果.
模型中也存在不足之处,为了方便模型的建立与问题的求解,我们将导弹的质量忽略不记,故在实际问题中发射导弹需向上和水平面以一定的夹角发射.在导弹及敌机运动过程中我们也忽略了风速和风向对他们运动轨迹的影响.因此所得数据与实际数据存在一定的误差.
此模型实用性强,还可用于其他的追击问题,如海上巡警追击走私货船等等.

6、模型评价：
我们根据相应的规律,列出常微分方程.将复杂的问题转化为求微分方程解的形式,由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.
现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.

7、参考文献
牛顿的二体问题：在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动.他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组.

微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的.既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法.