平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 10:56:25

平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM

平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
如图
过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF
易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形.
所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD
在四边形MEBF中.已知三个角为直角,所以四个角均为直角.同时邻边相等.为正方形.
所以ME=MF.
在△NFM和△DEM中.DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90°
∴△NFM≌△DEM. 得NF=DE
又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证.

如图

过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF

易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。

所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD

在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。

所以ME=MF。

在△NFM和△DEM中。DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90°

∴△NFM≌△DEM。得NF=DE

又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证。