正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B问:在线段BC上是否存在P使二面角E-DP-C的余弦值为3√13/13?若存在求出BP的长,不存在请说明理由?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 21:37:28
正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B问:在线段BC上是否存在P使二面角E-DP-C的余弦值为3√13/13?若存在求出BP的长,不存在请说明理由?
正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B
问:在线段BC上是否存在P使二面角E-DP-C的余弦值为3√13/13?若存在求出BP的长,不存在请说明理由?
正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B问:在线段BC上是否存在P使二面角E-DP-C的余弦值为3√13/13?若存在求出BP的长,不存在请说明理由?
作EH⊥CD垂足H,设存在二面角E-DP-C,作HQ⊥DP,交点为Q,连结EQ,
∵平面ADC⊥平面BDC,
∴EH⊥平面BDC,
根据三垂线定理,EQ⊥DP,
∴<HQE是二面角E-DP-C的平面角,
设<HQE=θ,
∵EH是△CAD的中位线,
∴EH=AD/2=AC/4=1,
cosθ=3√13/13,
secθ=√13/3,
tanθ=√(13/9-1)=2/3,
EH/HQ=tanθ,
∴HQ=1/(2/3)=3/2,
DH=CD/2=2√3/2=√3,
sin<HDQ=HQ/HD=(3/2)/√3=√3/2,
∴<HDQ=60°,
∴<PDB=90°-60°=30°,
∵<B=60°,
∴<DPB=180°-60°-30°=90°,
∴BP=BD/2=1,
∴这样的P点存在,BP=1.DP⊥BC.
ADBDCD两两垂直,以D为原点,建系,空间向量做。