关于周期函数的一个疑问设f(x)的最小正周期为T1 g(x)的最小正周期为T2其中T1,T2属于实数问F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]? 同样问F(x)=f(x)+g(x){说明这里的方括号为广义的最小公倍数,是实数域
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 09:03:26
关于周期函数的一个疑问设f(x)的最小正周期为T1 g(x)的最小正周期为T2其中T1,T2属于实数问F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]? 同样问F(x)=f(x)+g(x){说明这里的方括号为广义的最小公倍数,是实数域
关于周期函数的一个疑问
设f(x)的最小正周期为T1
g(x)的最小正周期为T2
其中T1,T2属于实数
问F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]? 同样问F(x)=f(x)+g(x)
{说明这里的方括号为广义的最小公倍数,是实数域里的最小公倍数,即
T=nT1,T=mT2,m,n为正整数且T尽量小}
请予以判断并给出严谨的充要证明
谢谢诸位的帮忙!
关于周期函数的一个疑问设f(x)的最小正周期为T1 g(x)的最小正周期为T2其中T1,T2属于实数问F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]? 同样问F(x)=f(x)+g(x){说明这里的方括号为广义的最小公倍数,是实数域
不一定吧.比如说吧,
f(x)=(高斯函数[x] mod 2)
g(x)=1-f(x)
那么他们的周期都是2,相乘之后没有周期.
再比如,f(x)=sinx,g(x)=-sinx,它们的周期都是2π,但是相加之后就没有周期了.
设f(x)的最小正周期为T1
g(x)的最小正周期为T2
其中T1,T2属于实数
F(x)=f(x)*g(x)的周期为T=[T1,T2],F(x)=f(x)+g(x)
证明:
因为T=[T1,T2],所以可设T=mT1,T=nT2
则,因为f(x)的最小正周期为T1
所以f(x+mT1)=f(x)
因为g(x)的最小正周期为T2
全部展开
设f(x)的最小正周期为T1
g(x)的最小正周期为T2
其中T1,T2属于实数
F(x)=f(x)*g(x)的周期为T=[T1,T2],F(x)=f(x)+g(x)
证明:
因为T=[T1,T2],所以可设T=mT1,T=nT2
则,因为f(x)的最小正周期为T1
所以f(x+mT1)=f(x)
因为g(x)的最小正周期为T2
所以g(x+nT2)=g(x)
即:
f(x)*g(x)=f(x+mT1)*g(x+nT2)=f(x+T)g(x+T)=F(x+T)
所以T为函数F(x)=f(x)*g(x)的周期。
现在证最小周期
假设存在T'.使得F(x+T')=F(x)
则可知有对任意f(x+T')*g(x+T')=f(x)*g(x)
显然,只能有:
f(x+T')=f(x),则T'为f(x)的周期,
g(x+T')=g(x),则T'为g(x)的周期,
则可知有T'为T1,T2的公倍数。
又为最小正周期,所以,T'为T1,T2最小公倍数
所以,T'即T.
所以F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]
反向也可推知
同理可证:T 为F(x)=f(x)+g(x) 的最小正周期
收起
是的
首先,T=[T1,T2]显然是F(x)的周期,这点不用说明了吧?
下证明T为最小正周期。假设存在T0
同理T0也需是T2 的整数倍。
由上述两条得T0>=T
矛盾。所以T是F(x)最小正周期...
全部展开
是的
首先,T=[T1,T2]显然是F(x)的周期,这点不用说明了吧?
下证明T为最小正周期。假设存在T0
同理T0也需是T2 的整数倍。
由上述两条得T0>=T
矛盾。所以T是F(x)最小正周期
收起