作业帮三角形中线的公式及推导
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 11:45:13
三角形中线的公式及推导
三角形中线的公式及推导
三角形中线的公式及推导
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c．
1、三角形的三条中线都在三角形内.
2、三角形的三条中线长： ._______ ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ； ._______ mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ； ._______ mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 . (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心.
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
证明
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.利用等量代换求解
给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图） 连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF. ∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC. ∴△DEC≌△PEB（SAS）. ∴CD=BP.S△DEC=S△PEB. 又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP. ∴EP平行且等于1/2AC. 即EP平行且等于AF. ∴平行四边形AEPF.（对边平行且相等的四边形为平行四边形） ∴AE=FP.S△EFP=S△AEF. 这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP. ∵BF为中线,平分△ABC面积. ∴S△BAF=S△BFC. 又∵EF为△BFC中线,平分△BFC面积. ∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC. 又∵CD为△ABC中线,平分△ABC面积. ∴S△ADC=S△BDC. 又∵DE平分△BDC面积. ∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC. ∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC. ∵AE为△ABC中线,平分△ABC面积. ∴S△BAE=S△AEC. 又∵EF平分△AEC. ∴S△AEF=S△EFC. ∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC ∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP =1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC =3/4 S△ABC