作业帮三角形中线公式怎么推导知道的顺便把高和内角平分线也写上,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 08:59:02
三角形中线公式怎么推导知道的顺便把高和内角平分线也写上,
三角形中线公式怎么推导
知道的顺便把高和内角平分线也写上,
三角形中线公式怎么推导知道的顺便把高和内角平分线也写上,
如果你兴致盎然,可以去推导
Stewart 定理,这些公式都是他的推论
我发现我兴致盎然,就帮你推吧
任意三角形ABC中,D是底边BC上一点,联结AD,则有：AB^2*CD+AC^2*BD=(AD^2+BD*DC)*BC
设BD＝u,DC＝v,则有：
AD^2＝(b^2×u+c^2×v)/a-uv
证明：过点A作AE⊥BC于E,设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）
则
AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2
若E在BC的延长线上,则v-x换成x-v
所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2ux
AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux
1式+2式得
AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)
故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv
1)当AD是⊿ABC中线时,u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2
2)当AD是⊿ABC内角平分线时,由三角形内角平分线的性质,得u = ac/(b+c),v =ab/(b+c)
设s = (a+b+c)/2
得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs(s-a))
3)当AD是⊿ABC高时,AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2
再由 u+v = a
得
AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)
这是我写了很多年的标准解答了
累死了