作业帮请问谁可以帮我解释一下黎曼几何?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 14:40:46
请问谁可以帮我解释一下黎曼几何?
请问谁可以帮我解释一下黎曼几何?
请问谁可以帮我解释一下黎曼几何?
Riemannian geometry
黎曼流形上的几何学.德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论.1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说,通常被认为是黎曼几何学的源头.在这篇演说中,黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体.他首先发展了空间的概念,提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ,空间中的点可用n个实数（x1,……,xn）作为坐标来描述.这是现代n维微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象奠定了基础.这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1,x2,……xn）与（x1＋dx1,……xn＋dxn）之间的距离,用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量.
（gij）是由函数构成的正定对称矩阵.这便是黎曼度量.赋予黎曼度量的微分流形,就是黎曼流形.
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构,并且在同一流形上可以有许多不同的度量.黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2,即第一基本形式,而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构.黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性,从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚,创立了黎曼几何学,为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献.
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题.该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决.前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念.在此基础上G.里奇发展了张量分析方法,这在广义相对论中起了基本数学工具的作用.他们进一步发展了黎曼几何学.
但在黎曼所处的时代,李群以及拓扑学还没有发展起来,因此黎曼几何只限于小范围的理论.大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究.随着微分流形精确概念的确立,特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法,建立了李群与黎曼几何之间的联系,从而为黎曼几何的发展奠定重要基础,并开辟了广阔的园地,影响极其深远.并由此发展了线性联络及纤维丛的研究.
1915年,A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论.使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具.而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响.例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础.
1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明,以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究,引进了后来通称的陈示性类,为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河.半个多世纪,黎曼几何的研究从局部发展到整体,产生了许多深刻的结果.黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透,相互影响,在现代数学和理论物理学中有重大作用
在分析一下
学习黎曼几何要什么数学基础~
学习黎曼几何,有高中几何基础就行.
现行初中课本的和高中课本的都关是欧几里得几何,简称欧氏几何.欧氏几何已有千多年的历史.十八世纪出现的黎曼几何和罗巴切夫斯基几何与欧氏几何一个最明显的区别在于一条公理:
欧氏公理:过直线L外一点能且仅能作一条直线与直线L行
黎氏公理:过直线L外一点不能作直线与直线L行
罗氏公理:过直线L外一点能作无数条直线与直线L行
由于公理系统中有不同公理,于是产生了许多不同定理和公式,例如:
欧氏空间中:三角形三内角和为180°
黎氏空间中:三角形三内角和小于180°
罗氏空间中:三角形三内角和大于180°
学习黎曼几何与学习欧氏几何差不多,由于欧氏几何在大多数人中根深蒂固,所以开始学黎曼几何有时感到别扭,但
只要抓住公理系统进行严格推理,就能学好.
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提醒楼主 黎曼几何 是经常用于空间上的,特别是 相对论 开始应用上它后