作业帮欧拉线有用吗
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 04:42:26
欧拉线有用吗
欧拉线有用吗
欧拉线有用吗
首先欧拉线定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’.∵ BD是直径,∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB,DC⊥BC.∵ CH⊥AB,AH⊥BC,∴ DA‖CH,DC‖AH.∴ 四边形ADCH是平行四边形,∴ AH=DC.∵ M是BC的中点,O是BD的中点.∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH,∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G与G’重合.∴ O、G、H三点在同一条直线上.
在平面几何中,欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线.莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
所以欧拉线是有极大用处的.