求西姆松线及欧拉线的证明

求西姆松线及欧拉线的证明
求西姆松线及欧拉线的证明

求西姆松线及欧拉线的证明
西姆松：
　　如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于
　　BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和
　　P、M、C、 L分别四点共圆,有
　　∠NBP = ∠NLP
　　= ∠MLP= ∠MCP.
　　故A、B、P、C四点共圆.
　　若A、P、B、C四点共圆,则
　　∠NBP= ∠MCP.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,
　　有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有
　　∠NBP = ∠NLP
　　= ∠MCP
　　= ∠MLP.
　　故L、M、N三点共线.

欧拉线
　　设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O, 
三心共线则向量OH=向量OA+向
量OB+向量OC 
　　而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3, 
　　向量OH=3向量OG 
　　所以O、G、H三点共线,且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半.