作业帮f(x)=cosx+sinx,证明存在a属于（0,0.5π）使f(x+a)=f(x+3a)恒成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:49:54
f(x)=cosx+sinx,证明存在a属于（0,0.5π）使f(x+a)=f(x+3a)恒成立
f(x)=cosx+sinx,证明存在a属于（0,0.5π）使f(x+a)=f(x+3a)恒成立
f(x)=cosx+sinx,证明存在a属于（0,0.5π）使f(x+a)=f(x+3a)恒成立
f(x＋a)=f(x＋3a)
sin(x＋a)＋cos(x＋a)=sin(x＋3a)＋cos(x＋3a)
sin(x＋a)－sin(x＋3a)=cos(x＋3a)－cos(x＋a)
2cos(x＋2a)sin(－a)=－2sin(x＋2a)sin(a)
sina[cos(x＋2a)－sin(x＋2a)]=0
sina=0,因a属于(0,π/2),则不存在a,使得f(x＋a)=f(x＋3a)
π/8
f(x)=cosx+sinx=V2(Sin(x+π/4)]
f(x+a)=V2[Sin(x+a+π/4)]
f(x+3a)=V2[Sin(x+3a+π/4)]
f(x+a)=f(x+3a)
由于a属于（0,0.5π）
Sin(t)=Sin(π-t) 两角差为π－2t 属于（0, π）
设Sin(x+a+π/4) Sin(x+3a+π/4)角差在（0...
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f(x)=cosx+sinx=V2(Sin(x+π/4)]
f(x+a)=V2[Sin(x+a+π/4)]
f(x+3a)=V2[Sin(x+3a+π/4)]
f(x+a)=f(x+3a)
由于a属于（0,0.5π）
Sin(t)=Sin(π-t) 两角差为π－2t 属于（0, π）
设Sin(x+a+π/4) Sin(x+3a+π/4)角差在（0, π）内 时f(x+a)=f(x+3a)成立
实际上(x+3a)-(x+a)=3a-a=2a 属于（0, π），故a存在。
x+3a+π/4 = π - x -a -π/4
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