高二不等式的证明(3)(1)已知a,b,c∈正整数,求证:根号下(a的平方+ab+b的平方)+根号下(b的平方-bc+c的平方)+根号下(c的平方-ca+a的平方)≥a+b+c(2)已知a,b,c∈正整数,y∈{-2,2],求证:根号下(a的平方+yab+b的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 05:02:08
高二不等式的证明(3)(1)已知a,b,c∈正整数,求证:根号下(a的平方+ab+b的平方)+根号下(b的平方-bc+c的平方)+根号下(c的平方-ca+a的平方)≥a+b+c(2)已知a,b,c∈正整数,y∈{-2,2],求证:根号下(a的平方+yab+b的
高二不等式的证明(3)
(1)已知a,b,c∈正整数,求证:根号下(a的平方+ab+b的平方)+根号下(b的平方-bc+c的平方)+根号下(c的平方-ca+a的平方)≥a+b+c
(2)已知a,b,c∈正整数,y∈{-2,2],求证:根号下(a的平方+yab+b的平方)+根号下(b的平方+ybc+c的平方)+根号下(c的平方+yac+a的平方)≥根号下(2+y)·(a+b)
(3)试证明著名的柯西不等式:
(a1+b1+···+anbn)的平方≤(a1的平方+a2的平方+···+an的平方)(b1的平方+b2的平方+···+bn的平方)
高二不等式的证明(3)(1)已知a,b,c∈正整数,求证:根号下(a的平方+ab+b的平方)+根号下(b的平方-bc+c的平方)+根号下(c的平方-ca+a的平方)≥a+b+c(2)已知a,b,c∈正整数,y∈{-2,2],求证:根号下(a的平方+yab+b的
1.此题出错!第一个括号内中间的加号应为减号.证明如下:
先证明根号下(a的平方-ab+b的平方)≥(a+b)/2
两边平方得
a的平方-a*b+b的平方≥(a+b)的平方/4
展开化简即可得(a-b)的平方≥0
另外两个证法同上,三式相加即可.
2.仿上题证法,先证
根号下(a的平方+yab+b的平方)≥根号下(2+y)·(a+b)÷2,两边平方后拆开化简得
2*a的平方+2*y*a*b+2*b的平方≥y*a的平方+4*a*b+y*b的平方
,即(2-y)*a的平方-2*(2-y)*a*b+(2-y)*b的平方≥0,由于2-y≥0(2-y=0时另证,非常好证),可消去(2-y)而不等式方向不变,得(a-b)的平方≥0
,另外两个证法同上,三式相加即可.
3.∵(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+……+(anx+bn)^2≥0
∴(a1^2x^2+2*a1b1x+b1^2)+…+(an^2x^2+2*an*bn*x+bn^2)≥0
∴(a1^2+a2^2+…+an^2)x^2+2(a1b1+a2b2+…anbn)x+(b1^2+b2^2+…bn^2)≥0对实数x均成立
∵a1^2+a2^2+…an^2>0
∴△=4(a1b1+a2b2+…+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2)≤0,
即证.