作业帮设正项等比数列{an}的首项a1=1/2,前n项和为Sn,且2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0(1)求{an}的通项(2)求{nSn}的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:23:11
设正项等比数列{an}的首项a1=1/2,前n项和为Sn,且2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0(1)求{an}的通项(2)求{nSn}的前n项和Tn
设正项等比数列{an}的首项a1=1/2,前n项和为Sn,且2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0
(1)求{an}的通项
(2)求{nSn}的前n项和Tn
设正项等比数列{an}的首项a1=1/2,前n项和为Sn,且2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0(1)求{an}的通项(2)求{nSn}的前n项和Tn
（1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式
2^10(S30-S20)=S20-S10
(S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)
S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和,第二个十项之和
则有等比数列性质可知 (S30-S20)/(S20-S10)=q^10
q^10=2^(-10) 得出公比q=1/2
an=a1*q^(n-1)=2^(-n)
(2)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-2^(-n)
数列bn=nSn=n-n2^(-n）
命cn=n,dn=n2^(-n)
易知等差数列cn前n项和Tcn=n(1+n)/2
Tdn=1*2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+...+n2^(-n)
2Tdn=1*2^(0)+2*2^(-1)+3*2^(-2)+...+n2^(-n+1)
两式相减得Tdn=2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)-n2^(-n)
2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)为等比数列前n项和
易知2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)=2[1-2^(-n)]
则Tdn=2[1-2^(-n)]-n2^(-n)=2-(n+2)2^(-n)
所以Tn=Tcn-Tdn=n(1+n)/2-2+(n+2)2^(-n)
上面那位错误的 连公比求错了 就前功尽弃了
(1)Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，把S10 S20 S30 代入2^10*S30-(2^10+1)*S20+S10=0
得q=2，故an=2^(n-2)
(2)Sn=2^(n-1)-1/2 ，n*Sn=n*2^(n-1)-n/2
Tn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n*2^(n-1) +(1+2+...+n)/2
=n...
全部展开
(1)Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，把S10 S20 S30 代入2^10*S30-(2^10+1)*S20+S10=0
得q=2，故an=2^(n-2)
(2)Sn=2^(n-1)-1/2 ，n*Sn=n*2^(n-1)-n/2
Tn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n*2^(n-1) +(1+2+...+n)/2
=n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] -[(n-1)*2^0+(n-2)*2^1+...+1*2^(n-2)]
+(1+2+...+n)/2
等比数列{ bn=2^(n-1) }前n项和为Qn=2^n-1 ，故
Tn=n*Qn -Q(n-1) -Q(n-2) -Q(n-3)-...-Q1+(1+2+...+n)/2
=(n+1)*Qn -[Qn -Q(n-1)-...-Q1]+(1+2+...+n)/2
=(n+1)*Qn -[2^1+2^2+...+2^n -n]+(1+2+...+n)/2
=(n+1)*Qn -[2^1+2^2+...+2^n+1 -n-1]+(1+2+...+n)/2
=(n+1)*Qn -Q(n+1)+n+1+(1+2+...+n)/2
=（n+1)*Qn -Q(n+1)+（n+1)(n+4)/4
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