已知f(x)在定义域(0,+无穷)为减函数f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1 (1)求f(1) (2)解不等式f(-x)+f(3-x)>=-2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 07:56:15
已知f(x)在定义域(0,+无穷)为减函数f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1 (1)求f(1) (2)解不等式f(-x)+f(3-x)>=-2
已知f(x)在定义域(0,+无穷)为减函数f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1 (1)求f(1) (2)解不等式f(-x)+f(3-x)>=-2
已知f(x)在定义域(0,+无穷)为减函数f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1 (1)求f(1) (2)解不等式f(-x)+f(3-x)>=-2
1.因为f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,所以令x=1,y=1/2,可得f(1/2)=f(1)+f(1/2),解得,f(1)=0
2.思想是利用减函数的条件脱去f,方可解出x
因为f(xy)=f(x)+f(y),所以不等式变形为
f[x(x-3)]>= -2.
因为f(1/2)=1,所以右端的-2看成-2*1,继续变形为
f[x(x-3)]>= -2f(1/2);
f[x(x-3)] >= -[f(1/2) + f(1/2)]
右端再利用f(xy)=f(x)+f(y)合并,得
f[x(x-3)] >= -f(1/4);
f[x(x-3)] + f(1/4) >= 0;
同理,左端再利用公式合并
f{1/4[x(x-3)]} >= 0;
此时利用第一问求出的f(1)=0替换右端的0,得
f{1/4[x(x-3)]} >= f(1);
因为是减函数,所以
1/4[x(x-3)] <= 1;
化简得(x-4)(x+1) <= 0;
解得-1<= x <= 4;
另外定义域是正数,所以1/4[x(x-3)] > 0;
解得x>3 或 x<0
综合两个结果,最后的答案是-1 <= x < 0 或 3 < x <= 4;