作业帮请问一道高中数学不等式证明题a,b,c都是实数若a+b+c=1求证：a平方+b平方+c平方大于等于1/3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 15:54:00
请问一道高中数学不等式证明题a,b,c都是实数若a+b+c=1求证：a平方+b平方+c平方大于等于1/3
请问一道高中数学不等式证明题
a,b,c都是实数
若a+b+c=1
求证：a平方+b平方+c平方大于等于1/3
请问一道高中数学不等式证明题a,b,c都是实数若a+b+c=1求证：a平方+b平方+c平方大于等于1/3
a^2+b^2>=2ab 注：a^2表示a平方
a^2+c^2>=2ac
c^2+b^2>=2cb
三式相加得
2（a^2+b^2＋c^2）>=2ab＋2ac＋2cb
两边再加a^2+b^2＋c^2得
3（a^2+b^2＋c^2）>=a^2+b^2＋c^2＋2ab＋2ac＋2cb＝（a+b+c)^2=1
a^2+b^2＋c^2>=1/3
（a+b+c）²
=a²+b²+c²+ 2（ac+bc+ab）
……我再想想~ 噢，均值不等式！！！
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∵（a+b+c）^2=a^2 +b^2 +c^2+ 2ab+2ac+ 2bc =1 （上面求出来了）
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2a...
全部展开
（a+b+c）²
=a²+b²+c²+ 2（ac+bc+ab）
……我再想想~ 噢，均值不等式！！！
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∵（a+b+c）^2=a^2 +b^2 +c^2+ 2ab+2ac+ 2bc =1 （上面求出来了）
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 (1) （上面求出来了）
a^2+b^2>=2ab (2)
a^2+c^2>=2ac (3) （这些都是均值不等式的定理）
b^2+c^2>=2bc (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc ≥1+2ab+2ac+2bc
3a^2+3b^2+3c^2 ≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
http://zhidao.baidu.com/question/114936571.html?fr=qrl&cid=983&index=4
收起
不知道楼上的想起来没有，我试试了：（a+b+c）²
=a²+b²+c²+ 2（ac+bc+ab）
柯西不等式
3(a²+b²+c²)=(1²+1²+1²)(a²+b²+c²)(a+b+c)²≥1
所以 a²+b²+c²≥1/3
3（a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=2a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
故3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3=1/3