数学归纳法的整除问题详细怎么算

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 02:20:10

数学归纳法的整除问题详细怎么算
数学归纳法的整除问题
详细怎么算

数学归纳法的整除问题详细怎么算
用数学归纳法证明整除问题时,由到时,首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除,这是数学归纳法证明问题的一大技巧.
例1、是否存在正整数m,使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
证明：由f（n）=（2n+7）•3n+9,得f（1）=36,f（2）=3×36,f（3）=10×36,f（4）=34×36,由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时,显然成立.
（2）假设n=k时,f（k）能被36整除,即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时,〔2（k+1）+7〕•3k+1+9=3〔（2k+7）•3k+9〕+18（3k--1－1）,
由于3k-1－1是2的倍数,故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f（n）也能被36整除.
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除,m的最大值为36.
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复杂程度,从而发现所要证明的式子,使问题的证明有目的性．

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