作业帮哪本大学数学书中有古鲁金定理 我记得名字叫微积分上
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:33:41
哪本大学数学书中有古鲁金定理 我记得名字叫微积分上
哪本大学数学书中有古鲁金定理 我记得名字叫微积分上
哪本大学数学书中有古鲁金定理 我记得名字叫微积分上
若函数f(x）在[a,b]上连续,且存在原函数F(x）,则f(x）在[a,b]上可积,且
b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：对函数f(x）于区间[a,b]上的定积分表达为 b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ（x)= x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ（x)= x∫a*f(t)dt
1、定义函数Φ（x)= x（上限）∫a（下限）f(t)dt,则Φ
与格林公式和高斯公式的联系
’（x)=f(x）.
证明：让函数Φ（x）获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ（x+Δx)-Φ（x)=x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt=f（ξ）?Δx（ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.）
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f（ξ）趋向于f(x）,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’（x)=f(x）.
2、b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x）的原函数.
证明：我们已证得Φ’（x)=f(x）,故Φ（x）+C=F（x）
但Φ（a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ（x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ（b)=F（b)-F(a),
而Φ（b)=b（上限）∫a（下限）f(t)dt,所以b（上限）∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.