已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 21:08:31
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y
求y与x的函数关系 求y的最值
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
设AQ=z,因为pq将三角形面积分成了相等的两部分,所以1/2三角形ABC的面积=1/2*1*(根号3/2)*1/2=1/2*sin60*x*z
在三角形APQ中,cos60=(x平方+z平方-y平方)/2zx.
解以上两个方程消除Z,得到y与x的关系:4x四次方-4x平方*y平方-2x平方+1=0.
AP=x
由于PQ等分三角形ABC的面积,
那么有(AP*AQ)/(AB*AC)=1/2
则x*AQ=1/2
AQ=1/(2x)
AP=x,PQ=y
由余弦定理有:y^2=x^2+AQ^2-x*AQ=x^2+1/(4x^2)-1/2
于是y=根号下[x^2+1/(4x^2)-1/2]
由
AQ=1/(2x)≤1,x≥1/2
全部展开
AP=x
由于PQ等分三角形ABC的面积,
那么有(AP*AQ)/(AB*AC)=1/2
则x*AQ=1/2
AQ=1/(2x)
AP=x,PQ=y
由余弦定理有:y^2=x^2+AQ^2-x*AQ=x^2+1/(4x^2)-1/2
于是y=根号下[x^2+1/(4x^2)-1/2]
由
AQ=1/(2x)≤1,x≥1/2
即1/2≤x≤1
当x^2=1/(4x^2),即x=√2/2∈时,y取最小值=√2/2
当x=1/2或1时,y取最大值=√3/2
收起
正弦定理,S=1/2AP×AQSIN60°=1/2(1/2AB×AC×SIN60°)
∴x*AQ=1/2×1×1 AQ=1/(2x)
余弦定理,PQ²=AP²+AQ²-2×AP×AQ×COS60°
即PQ²=x²+1/(4x²)-2*x*1/(2x)*1/2=x²+1/(4x²)-1/2
∴y=√[(x²+1/(4x²)-1/2](0
由图可知,原正三角形的面积为¼√3.且x必须不小于½ ,否则命题不成立。当P在AB的中点时,Q必须在C的位置。此时x=½, y=½√3. 当P在B点时,x=1, y=½√3. 还有一个PQ//BC的状态,是需要引起认真注意的。以上这都是简单的分析。 设AP=x,设PQ=y。 三角形APQ的面积为正三角形的面积¼√3的½.即(√3)/8.再设AQ=z,列出等式: △APQ面积=½ ·x·z·sin60º, (√3)/8=½ ·x·z·½√3, ∴½=xz, z=1/(2x). 在△APQ中利用余弦定理,y²=x²+z²-2xz cos60º=x²+z²-xz=x²+z²-½=x²+(1/(2x))²-½. ∴y=√[x²+(1/(2x))²-½].当且仅当x²=(1/(2x))²,即x=½√2时,y有最小值,y=½√2.即x=y. 此时△APQ为正三角形,PQ//BC。由上所述,x=1时y=½√3为y的最大值.(完)。