公园里有一条z形道路

篇一：初一几何证明典型例题

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戴氏教育达州西外校区名校冲刺

初一典型几何证明题

1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 解：延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点 ∴BD=DC

在△ACD和△BDE中 AD=DE B

∠BDE=∠ADC D

BD=DC

∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3 ∴AD=2

2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△EDF (S.A.S)

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1

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∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE

在△BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF≌△AEF。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC

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2

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4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE，

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3

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∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE

7. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB

，求证：

PC-PB

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4

又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

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8. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∵∠ABC=3∠C

∴点E也是BD的中点 ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∴BD=2BE ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∵BD=CD=AC-AB ∴AB=AD

∴AC-AB=2BE

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形

ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

9. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E,

∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

AB=AC ?

∠1=∠2 BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC

10. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM

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5

篇二：《几何》八年级期末作业数学之几何证明练习题

几何证明练习题

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?

1AB 2

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?1AB 2

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

A D

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:公园里有一条z形道路)=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

篇三：全等三角形难题(含答案)

全等三角形难题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

解：延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?

1AB 2

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴ ∠EBF=∠BEF。

∵ ∠ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又 EF＝CG

∴EF＝AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接

EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180o

∵∠BFE+∠CFE=180o

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC，

∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

篇四：全等三角形难题(含答案)

全等三角形经典证明

已知：AB=10，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

1. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?

B

D

1AB 2

2. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。??因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。??所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。??所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。????连接BE。??在三角形BEF中,BF=EF。??所以 ∠EBF=∠BEF。??又因为 ∠ABC=∠AED。??所以 ∠ABE=∠AEB。??所以 AB=AE。????在三角形ABF和三角形AEF中，??AB=AE,BF=EF,??∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。??所以 三角形ABF和三角形AEF全等。??所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。??

3. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：??过E点，作EG//AC，交AD延长线于G??则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2??又∵CD=DE??∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）??∴EG=AC??∵EF//AB??∴∠DFE=∠1??∵∠1=∠2??∴∠DFE=∠DGE??∴EF=EG??∴EF=AC

4. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

证明：??在AC上截取AE=AB，连接ED??∵AD平分∠BAC??∴∠EAD=∠BAD??又∵AE=AB，AD=AD??∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）??∴∠AED=∠B，DE=DB??∵AC=AB+BD?? AC=AE+CE??∴CE=DE??∴∠C=∠EDC??∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C??∴∠B=2∠C

5. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： ??在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ??因为CE⊥AB ??所以∠CEB＝∠CEF＝90° ??因为EB＝EF，CE＝CE， ??所以△CEB≌△CEF ??所以∠B＝∠CFE ??因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ??所以∠D＝∠CFA ??因为AC平分∠BAD ??所以∠DAC＝∠FAC ??又因为AC＝AC ??所以△ADC≌△AFC（SAS） ??所以AD＝AF ??所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE ????

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.??∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;??AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;??又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;??又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.??所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB， 所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C ??

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：??△AED是等腰三角形。??所以：AE=DE??而AB=CD??所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）??所以：△BEC是等腰三角形??所以：角B=角C. 18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;??BD=DC; ??所以:??∠DBC=∠角DCB;??∠1=∠2;??

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;??∠ABC=∠ACB;?? 所以:??AB=AC;??

三角形ABD全等于三角形ACD;??

∠BAD=∠CAD;??AD是等腰三角形的顶角平分线??所以:??AD垂直BC 19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB?? 所以MA=MB??所以∠MAB=∠MBA?? 因为∠OAM=∠OBM=90度??

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA??所以∠OAB=∠OBA 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．?? 解答：解：（1）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF；?? （2）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF． ?? 23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： A

D E

BC

(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。??

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

F

A

E

D

CB

证明：延长BA、CE，两线相交于点F ??∵BE⊥CE ??∴∠BEF=∠BEC=90° ??在△BEF和△BEC中 ??∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ??∴△BEF≌△BEC(ASA) ??∴EF=EC ??∴CF=2CE ??∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° ??又∵∠ADB=∠CDE ??∴∠ABD=∠ACF ??在△ABD和△ACF中 ??∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ??∴△ABD≌△ACF(ASA) ??∴BD=CF ??∴BD=2CE

25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

A

B

D

E

F

C

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

A

求证：AM是△ABC的中线。

证明：??∵BE‖CF??∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM??∵BE=CF?? ∴△BEM≌△CFM??

∴BM=CM??∴AM是△ABC的中线.

A

F

B

E

M

C

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

D

证明：在△ABD与△ACD中AB=AC??BD=DC??AD=AD??

∴△ABD≌△ACD??∴∠ADB=∠ADC??∴∠BDF=∠FDC??在△BDF与△FDC中

??BD=DC??∠BDF=∠FDC??DF=DF??∴△FBD≌△FCD??∴BF=FC 29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

A

B

C

F

C

E

DF

B

因为AB=DC????AE=DF,????CE=FB ????CE+EF=EF+FB????所以三角形ABE=三角形CDF????因为 角DCB=角ABF????AB=DC BF=CE????三角形ABF=三角形CDE????所以AF=DE????

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证：??∵AB平行CD（已知）??∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）??∵M在BC的中点（已知）??∴EM=FM（中点定义）??在△BME和△CMF中?? BE=CF（已知）?? ∠B=∠C（已证）?? EM=FM（已证）??∴△BME全等与△CMF（SAS）??∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）?? ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）?? ∴E，M，F在同一直线上??

篇五：全等三角形含答案

全等三角形

1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：延长AD到E,使DE=AD,则△ADC≌△EBD ∴BE=AC=2

在△ABE中,AB-BE

2、 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。∴ △BCF≌△EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在△BEF中,BF=EF。∴∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。

在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。∴ △ABF≌△AEF∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

第1题

第2题 第3题

3、 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G，则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG ∴EF=AC

4、 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD，AC=AE+CE∴CE=DE ∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C

第4题 第5题

5、 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,

∴ ⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,

∴∠A+∠D=180°;又∵∠EFB+∠EFC=180°, ∴∠EFC=∠D;又∵∠FCE=∠

DCE,CE=CE,

∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.∴BC=BF+FC=AB+CD.

第6题

第7题 第8题

7. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

∵AB∥ED, AE∥BD ∴AE=BD,又∵AF=CD, EF=BC∴△AEF≌△DCB，∴∠C=∠F

8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

证明：延长AD至H交BC于H;BD=DC;∴∠DBC=∠DCB;

∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;

∴AB=AC;△ABD≌△ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线∴AD⊥BC

9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB∴MA=MB∴∠MAB=∠MBA

∵∠OAM=∠OBM=90度∴∠OAB=90-∠MAB，∠OBA=90-∠MBA∴∠OAB=∠OBA

PA E

D

C B

DBA

第9题 第10题 第11题

10．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 证明：作BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA∥BC∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°

∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在△ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴△FAB为等腰三角形，

AB=AF,BE=EF

在△DEF与△BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴△DEF≌△BEC，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

11．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC。

∴DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．

13．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

(1)

∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。 ∵AE=BE，∴△AED≌△EBC。

A（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

FA

D A CBDEE DF

BCBC 第13题 第14题 第15题 第16题

14．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

证明：延长BA、CE，两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE

15、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

证明：∵BE∥CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.

16、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD

∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC

17、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

证明：

∵AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE≌△CDF

∵ ∠DCB=∠ABF

AB=DC BF=CE∴△ABF≌△CDE∴AF=DE

CAFB

E 第17

18. .公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：

∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）

在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）

∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

B

A C D 第18题 第19题 第20题

19．已知：点A、F、E、C 在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC

又∵BE=DF ∴△ABE≌△CDF（SAS）

20．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，

求证：BE=CD．

证明：∵ AB=AC，∴ ∠EBC=∠DCB∵ BD⊥AC，CE⊥AB∴ ∠BEC=∠CDB

BC=CB (公共边)∴△EBC≌△DCB∴ BE＝CD

21 . 已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,

求AD 的长？

解:∠C=∠E=90度∠B=∠EAD=90度-∠BAC

BC=AE△ABC≌△DAEAD=AB=5

A A

C

第21题 第22题 第23题

22．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

证明∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC

23．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD=∠CBE ,AC=CB，

F DE=CE-CD=AD-BE； ∴△ADC≌△CEB（AAS）

，∴AD=CE，DC=BE，∴

A E

B C 第24题

第25 题 第26题

24．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF （1）证明∵AE⊥AB∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度∵AF⊥AC

∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度∴∠EAC=∠BAF∵AE=AB AF=AC

∴△EAC≌△FAB∴EC=BF,∠ECA=∠F

（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G∵∠ECA=∠F(已证）

∴∠G=∠CAF∵∠CAF=90度∴EC⊥BF

25．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN

（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°∴AM⊥AN

26．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请证明。 在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,

∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN

BE为公共边,∴△EBN≌△EBD∴BD=BN AB=AN+BN=AC+BD

B

E

第26题 第27题 第28题 第29题

27、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF． 证明：∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF

∴∠BED=∠CFD∴BE∥CF

28、已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF．

求证：AB∥CD．

证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴∠C=∠A，∴AB∥CD．

29、 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明 结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

小学作文