垂径定理逆定理

篇一：垂径定理有几个逆定理

垂径定理有几个逆定理？

在学习垂径定理及其逆定理的过程中，同学们常常议论：垂径定理究竟有几个逆定理？

为了正确获得垂径定理的逆定理，首先需要对垂径定理的题设条件与结论进行深入的研讨．

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

如图所示，垂径定理可叙述为：在⊙O中，存在弦AB、直线CD，且AB与CD相交于M点：

从构造逆命题的方法入手，为了使逆命题正确的个数尽可能的多，从而采用等个数的交换，即一个换一个或两个换两个．这样可以得到以下9个逆命题：即

这个命题可叙述为：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧．

这个命题可叙述为：平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧．

这个命题可叙述为：垂直平分弦的直线经过圆心，并平分弦所对的弧．也就是说：弦的垂直平分线必经过圆心，并平分弦所对的弧．

这个命题可叙述为：垂直于弦并平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并平分弦和平分弦所对的另一条弧．

这个命题可叙述为：平分弦和平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并垂直于弦和平分弦所对的另一条弧．

这个命题可叙述为：平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并垂直平分这条弦．

再把命题二、四、五中的条件④和结论⑤进行对换，又分别得到3个逆命题，这样就有9个逆命题．可以证明，以上9个逆命题都是真命题． 当然，从构造逆命题的方法来看，也可以由题设条件和结论进行不等个数的交换．如用1个条件换2个(或3个)结论，可得6个(或2个)逆命题；用2个条件换1个(或3个)结论，可得3个(或1个)逆命题，这样可共得12个逆命题．但这12个逆命题中，要么不正确；要么是正确的，但有多余的条件，去掉多余的条件就与前面9个真命题中的某个逆命题相同．所以真命题只有上述9个．

总之，垂径定理共有12个逆命题，其中只有9个是逆定理．

由于垂径定理及其逆定理的应用很广泛，因此，上海版的新教材把命题一至五作为垂径定理的5条推论，而北京版的老教材把命题一至三作为3条推论．

综上所述，已把垂径定理及其逆命题的条件与结论分析清楚，以便使同学们对垂径定理及其逆命题能真正理解与利于记牢．

篇二：垂径定理及其逆定理巩固练习

1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。

⌒ ⌒ 。 2、如图，AB、CD都是⊙O

的弦，且AB∥CD，求证：AC = BD

3、如图4

，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线

AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。

D

4、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？

5、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

B

6、如图，在⊙O中，AB和CD是直径，弦CE∥AB，∠COE = 30°，求∠BOC的度数。

A

E

7、 如图，已知，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD于G，求证：EF = FG⌒ ⌒

。

8、如图，在⊙O中，点O是∠BAC的平分线上的一点，求证：AB = AC。

A

9、

BA的延长线交⊙O于E，

篇三：圆垂径定理逆定理

1.2.1垂径定理

一、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

1、如图1所示，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，

则⊙O上到AB所在直线的距离为2的点有 2 个

2、已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离图1

（弦心距）为3厘米，则⊙O的半径为 5厘米 。

3、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是、最长弦的长为 10 .

4、如图2所示，⊙O的直径AB=16，P为OB的中点，过P点的弦CD与AB所成的

∠APC=30°，求CD的长 （过O作OE⊥CD于E,l连接OC，OP=4,OE=2，OC=8，CD=8）

A图2

二、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧

5、如图所示，⊙O中弦AB的长是半径OA的倍，OC平分AB，交点为E，猜想四边形OACB是特殊的四边形吗？并说明理由。

B

三、圆的对称性（圆心角，弦、弧之间的关系）

6、在同圆或等圆中，两个，两条两条相等，它们所对应的其余各组量也相等。

7、如右图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，

⑴如果AB=CD，那么 ， ；

⑵如果AB=CD，那么；

⑶如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。

8、如右图, 在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，

求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。

1

????

9、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。 10、已知：AB是⊙O的直径，M，N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB ???求证：AC=BD

AB

2

篇四：垂径定理的逆定理

海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案—垂径定理的逆定理 九（ ）班 姓名： 编制：陈捷 审核：邓隆凡 学习目标：

1．掌握垂径定理的逆定理

2．学会运用垂径定理的逆定理解决一些有关证明、计算和作图问题

【重点】掌握垂径定理的逆定理

【难点】运用垂径定理的逆定理解决一些有关证明、计算和作图问题

学习过程:

一、课前复习

二、垂径定理的逆定理

1、探究一：

如图AB是⊙O的一条弦（非直径）,且AM=BM。过点M作直径CD.

(1) 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

(2) 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

结论：

由 ————————

——————————

证明：

垂径定理的逆定理1：________________________________________________

(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:垂径定理逆定理)

巩固练习：已知：⊙O 中， AB为 弦，D为 AB 中点，OC交AB 于C ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.

2、探究二：

AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.且CD⊥AB于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？为什么？ 结论：

由 ———————— —————————— 垂径定理的逆定理2：___________________________________

巩固练习：

若D是BC的中点AD⊥BC，BC=24，AD=9，求⊙O的半径。

1

3、垂径定理的逆定理3：___________________________________

巩固练习：如图所示， C是AB的中点，OC交AB于点D ，AB=6cm, CD=1cm ，求⊙O的半径长

三、巩固练习

1、判断正误

（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（ ）

（2）平分弦的直线，必定过圆心。 （ ）

（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。（ ）

（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（ ）

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（ ）

（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（ ）

2、已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .

⑴若半径R = 2 ，

AB =OE、DE 的长.

⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.

3、如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?

结论：垂径定理的推论______________________________________________

4、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.

四、小结

五、作业：易百分P137－

P138

2

篇五：圆第6课时(垂径定理逆定理)

垂直于弦的直径

教学过程

（一）明确目标

同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．

若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧．将（2）和（3）对调，得到一个命题，将

（1）和（3）对调，得到一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又得到一个命题．接着又将直径CD旋转到和弦AB平行时，又出现一个新命题．

这时教师点题．“9．3垂直于弦的直径（二）”．刚才得到的四个命题，就是我们本节要学习的垂径定理的两个推论．教师这样做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，就是在原来定理的题设和结论做一小小的调换而得到的，使学生感觉新知识不新，容易产生兴趣，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中．

（二）整体感知

为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论1．再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦AB平行时，又得到一个新命题，也就是推论2．这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

学习提问：

请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论．学生回答，教师板书，画出图形．

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．

题 设 结 论

将②和③对调，可得新命题为：

由于一个圆的?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我饬教踔本痘ハ嗥椒郑撬遣灰欢ㄊ腔ハ啻怪钡模缘玫缴厦婷獾慕崧郏匦爰由稀跋也皇侵本丁闭庖惶跫淌τ梦淖中鹗鑫?/p>

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 将①和③对调，又得新命题为：

④直线CD平分ACB，⑤直线CD平分ADB．

从而得到：

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；

请同学继续观察，当直径CD旋转与弦AB平行时，可得新的命题为：

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．教师引导学生回述证明过程． 数学表述成为：AB∥CD

接着做练习：

练习1：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？

练习2：按图7-14填空：在⊙O中，

= ．

（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；

（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；

（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，

（4）若

= ，MN为直径，则______，______，______．

这两个练习题学生回答，学生评价．练习题做完后教师接着讲例3． 例3 平分已知弧

．教师引导学生回答已知，求作．

已知：

．

求作：

的中点．

分析：要将

两等分，如何确定

的中点呢？

学生在教师的启发下，想出作圆的方法，这时教师

进一步提出问题；连结AB，作AB的垂直平分线交

说E点是

于点E，为什么可以的中点呢？根据什么？作图由学生自己完成．

教师这样做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过积极思考得到解决办法，这样理解深刻，不容易出错．

练习3：P．80中3（由学生完成）略．

（四）总结、扩展

本节课主要学习了垂径定理的两个推论．利用推论1举出平分弧的作图．

（五）布置作业

略

补充作业：

1．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足分别为C，D．求证：AE=BF．

2．已知：如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

求证：（1）CF=DE（2）∠OEF=∠OFE

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