斜渐近线的求法

篇一：2016考研数学渐近线的求法

2016考研数学渐近线的求法

考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的三个技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！

考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。

很多同学对渐近线的求法不是很清楚，容易在求解的过程中出现遗漏。下面我们就重点说一下渐近线的求法。

把握良好的进取心态，将长久以来复习的知识融会贯通，力争在最后的战场上保

持做题的最佳能力，合理利用时间调整自己，切忌心烦气躁，忧心忡忡，让自己在最后的拼搏中赢得最后的胜利。

最后祝愿大家考研取得好成绩！

篇二：高等数学(导数部分)

第3章 一元函数微分学

3.1.2导数定义

定义3.1.1 设在平面直角坐标系中，有一条曲线C：y?f?x?定义3.1.2 设y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，当自变量及C上一点M0(x0,y0)，在C上另取一点P（x,y).作割线M0P，

x在点x0处取得增量?x (x0??x仍在该邻域内）时，

?yf(x0??x)?f(x0)

?极限存在，就称y?f?x?在?x?x

当点P沿C无限趋向于点M0时， 如果割线M0P趋向于一极限位置 M0T，就称直线M0T为曲线C在 点M0处的切线。

y?f?x?取得增量?y?f(x0??x)?f?x0?，当?x?0时，如

果增量之比

点x0处可导或导数存在，并称该极限值为y?f?x?在点x0处

dy

的导数，记作f?(x0),y?|x?x0dx

x?x0

或

df(x)dx

x?x0

.

如果增量之比的极限?y

?

limx?0

?x

(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:斜渐近线的求法)

不存在，就称函数y?f?x?在点x0处不可导或导数不存在.

相应的法线方程分别为

y?f(x1

0)?f?(x(x?x0)[f?(x0)?0],

0)x?x0[f?(x0)?0],

y?f(x0)

[f?(x0)??].

单侧导数

定义3.1.3 如果lim?y??y?

?x?0

?

?x??或?limx?0?

?x??

存在，就称y?f?x?在点x0处左可导（或右可导），其极限值称y?f?x?在点x0的左导数（或右导数），记作f??(x0)[或f??(x0)].即

f?yf(x0??x)?f(x0)

??(x0)?xlim?x?

?lim0?xx?x?,

0?x

?yf(x0??x)?f(x0)

f??(x0)?xlim?x??lim0?xx?x?.

0?x 定理

3.1.1 函数y?f?x?在点x0处可导?y?f?x?

在点x0处既左可导又右可导，且f??(x0)?f??(x0).

（此结论适合于讨论分段函数分点处的可导性）

即f(x)???

?(x),

x?x0,

f?(x)????(x),

x?x0,??(x)

x?x,?0???(x)

x?x0.

3.1.3 函数的可导性与连续性的关系

定理3.1.2 如果函数y?f?x?在点x0处可导，则函数y?f?x?在点x0处连续.

注1（逆否命题） 如果函数y?f?x?在点x0处不连续，则函数y?f?x?在点x0处不可导.

注2（逆命题不成立） 如果函数y?f?x?在点x0处连续，则函数y?f?x?在点x0处未必可导.

3.2 求导的运算法则

求导的四则运算法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则

定理3.2.1 设函数u?u(x),v?v(x)都在点x处可导，则

（1）函数y?u(x)?v(x)在点x处可导，且

y??[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)；

（2）函数y?u(x)v(x)在点x处可导，且

y??[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)；

（3）函数y?

u(x)

[v(x)?0]在点x处可导，且 v(x)

u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)y??[]??. 2

v(x)v(x)

推论3.2.1 设函数u?x?,v?x?都在点x处可导，则

??Cu?(x)Cu(x)??（1），其中C为常数；

?(x)1v?)??2)?0。 （2）(，其中v(x v(x)v(x)nn

(?aiui)???aiui?(其中a1,a2,

i?1

i?1

,an为常数)?u1u2

?.un-1un

(u1u2?u2un)??u1?un?u1u2un?

3.2.2 反函数的求导法则

定理3.2.2 设函数x??(y)在点y的某邻域内单调、连续，且

??(y)?0，x表明：在点y处可导，则其反函数y?f?x?在相应点处反函数的导数?3.2.2

1dy1

?(x)?f或?.

可导，且 ??(y)dxdy

dx

1

直接函数的导数

3.2.1复合函数的求导法则

定理3.2.3 设函数u??(x)在点x处可导，函数y?f?u?在对

复合函数的导数=外函数导数?内函数导数。3.2.3表明：

应点u处可导，则复合函数y?f[?(x)]在点x处可导，且

dydydu

?(u?([?u)]}?(vf),)?x)(或),(u???v??xdx?du?dx. ，如y?f{(fu

。

dydydudv

???. dxdudvdx

常见函数变形还有x?e

x

xlnx

1

,ln(1?)?ln(x

可导函数的奇偶性和周期性： 设f(x)可导，

⑴ 如果f(x)为奇函数，则f?(x)为偶函数；

f(?x)??f(x)??f?(?x)??f?(x)，即f?(?x)?f?(x)。

⑵ 如果f(x)为偶函数，则f?(x)为奇函数；

f(?x)?f(x)??f?(?x)?f?(x)，即f?(?x)??f?(x)。

⑶ 如果f(x)为周期T的函数，则f?(x)为周期T的函数；

f(x?T)?f(x)?f?(x?T)?f?(x)。注 ：⑶的逆命题不成立。

3.3 高阶导数

定义3.3.1 如果函数y?f处可导，就称y?f

?x?的导函数f'?x?在点x

?x?在点x处二阶可导.

f

f'?x?在点

x处的导数称为函数y?记?x?在x点处的二阶导数，

d2yd2f(x)

?(x),y??,作f?或，即

dx2dx2

d2yddy

?(x)?[f?(x)]?或?()， f?

dx2dxdx

lim极限形式 f''(x)??

x?0

f'(x??x)?f'(x)

.

?x

一般地，有

y

(n)

?(sin?x)

(n)

??sin(?x?n?),n?0,1,2,

2

n

n

?

.

同理有 (cos?x)

(n)

由例3.3.2可发现，多项式函数任意阶可导，每求一次导数后仍为多项式，且次数降低一次.

??cos(?x?n?),n?0,1,2,

2

?

.

????

???y??(x?C),y??(??1)(x?C),解 ?

如果为正整数，则

。一般地，

.

y(n)?[(x?C)?](n)??(??1)(??n?1)(x?C)??n,n?1,2,

1(n)(?1)nn!)?.如果???1，则(n?1

x?C(x?C)

1

?(1?x)?1，则 由于[ln(1?x)]??

1?x

[ln(1?x)]

同理可得

(n)

?[(1?x)]

?1(n?1)

?(?1)

n?1

(n?1)!

,n?1,2,?. n

(1?x)

[ln(1?x)](n)??[(1?x)?1](n?1)?[(x?1)?1](n?1)

?(?1)

高阶导数运算法则：

设y?u(x),v?v(x)具有n阶导数，则

n?1

(n?1)!(n?1)!

??nn，n?1,2,(x?1)(1?x)

。

上面最后一个公式称为莱布尼兹（Leibniz)公式。特别地，当n?2时，则有

(u?v)(n)?u(n)?v(n),

(Cu)(n)?Cu(n) （其中C为常数）

k(n?k)(k)

(uv)(n)??Cnuv。

k?0n

(uv)???u??v?2u?v??uv??.

利用高阶导数运算法则，以及常用高阶导数公式，通过适当的函数变形，求出函数n阶导数的方法称为间接法。

3.4 隐函数与参数方程确定函数的求导方法

方法：如果隐函数y?y(x)可导，我们可以在上式两边同时对x求导，则有

dF[x,y(x)]dF(x,y)

?0，即?0，

dxdx

dy

然后从中解出

dx即可.

注：在求导过程中，应始终将y?y(x)视为x的函数，因此

F（x,y）是x的复合函数.

注：隐函数导数y'的形式可以是不惟一的（本质上是惟一的）.

对数求导法

当f(x)较复杂，而lnf(x)较简单时，将y?f(x)两边取对数得lny?lnf(x)，再利用隐函数求导法求出

1

注：由于(lnx)??，故可不必讨论对数中真数的正负

x号。虽然过程不严谨，但此解法已经默认为常用方法。

注：一般地，对于幂指函数y?u(x)v(x)，对数求导法

f?(x)．

?(tx??(t

等同于换底求导法

dvdvlnuu?vv

?1(u)?(e)?u(v?lnu?)． y?tt(xdxdxu

)]。则 由参变方程所确定的函数的求导法则 3.4.2

dy

dydydt??(t)????

dxdtdxdx??(t)。

dt

篇三：2007年考研数学(三)真题解析

2007年考研数学（三）真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当x?

0时，1??1，1???

1?

22?1x， 2

故用排除法可得正确选项为（B）.

事实上，lim?x?0lim?lim?1， x?0?x?0?

或?ln(1?x)?ln(1?x?o(x)?o?o?所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用

赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x)?|x|，则limx?0f(x)?f(?x)?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）. x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0)?0.

在（C）中，limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，所以(C)项正确，故存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x

选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.

3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得

11? F(3)??21???22?

F(?2)??212113?F(2)??2??， ，???2228?022121f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx??1??. ?0??2?022

33 所以 F(3)?F(2)?F(?2)，故选（C）. 44

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇

【例3.38】【例3.40】.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，?

2?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，

故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例

7.6】.

5…….【分析】本题考查需求弹性的概念.

【详解】选（D）.

商品需求弹性的绝对值等于 dQP?2P???1?P?40， dPQ160?2P

故选（D）.

【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

【详解】limy?lim??ln1?ex????,limy?lim??ln1?ex??0， x???x???xx???x???x????

所以 y?0是曲线的水平渐近线；

limy?lim??ln1?ex???，所以x?0是曲线的垂直渐近线； x?0x?0x

x1exx?ln?1?e?ln1?ex??y lim?lim?0?lim?lim?1， x???xx???x???x???xx1?1????1????1?????

b?lim?y?x??x????1li?x????x??n1??ex???l??x，所以0y?x是曲线的斜渐近线.

故选（D）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近

线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x???,x???时的极限不同.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，

【例5.31】.

7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组?1,?2,?3的线性相关性. 一般令x

??1,?2,?3????1,?2,?3?A，若A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.

或者因为

10?1?10?1???110??1??2,?2??3,?3??1????1,?2,?3????，而?110?0，

?0?11?0?11??

所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），（B），（C），（D）

中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例

3.3】.

8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. TTT

??2

【详解】 由?E?A?111??(??3)2可得?1??2?3,?3?0， 1

1??21??2

所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）.

【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）.

完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.

9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.

【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝

1 ?C3p(1?p)2p?3p2(1?p)2，

故选（C）.

【评注】本题属基本题型.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】

10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式

fX|Y(x|y)?f(x,y)可求解. fY(y)

【详解】因为?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y). 故fX|Y(x|y)?f(x,y)fX(x)fY(y)??fX(x)，应选（A）. fY(y)fY(y)

【评注】若?X,Y?服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3x21??x3?x2?1?0?0,|sinx?cosx|?2， 【详解】因为lim?limx???2x?x3x???x311?x2

x3?x2?1所以lim(sinx?cosx)?0. x???2x?x3

【评注】无穷小的相关性质：

（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；

（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；

（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例

1.43】

12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.

(?1)n2nn!(?1)n2nn!12(n)(n)【详解】y?，则y(x)?，故y(0)?. ,y???n?12n?13(2x?3)2x?3?2x?3?

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，

【例2.21】.

13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.

【详解】利用求导公式可得

?zy1??2f1??f2?， ?xxy

?z1?x??f1?2f2， ?yxy

所以x?y?z?zx??y??2?f1??f2??. ?x?yy??x

【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.

14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令u?

【详解】令u?y. xy，则原方程变为 x

du1dudxu?x?u?u3?3??. dx2u2x

两边积分得

?

1111??lnx?lnC， 22u22y211 即x?eu?x?ex，将yCCx?1?1代入左式得 C?e，

?1，x?e. x2 故满足条件的方程的特解为 ex?

ey，即y?

【评注】本题为基础题型. 2

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.

15……….【分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩. 3

?0?0【详解】A???0??0100001000??0??0?03?A???01???0??0000000001??0??r(A)?1. 0??0?

【评注】本题为基础题型.

矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.

16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间?0,1?上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.

【详解】利用几何概型计算. 图如下：

2?1?1???S?2??3. 所求概率?A?SD14

【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三

篇【例2.29】，【例2.47】.

17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.

【详解】 方程 ylny?x?y?0两边对x求导得

y?lny?y

即y?(2?lny)?1，则y?(1)?

上式两边再对x求导得 y??1?y??0， y1. 2

篇四：2007年考研数学(三)真题解析

2007年考研数学（三）真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当x?

0时，1??11???

1?

22?1x， 2

故用排除法可得正确选项为（B）.

事实上，lim?x?0lim?lim?1， x?0??0?

或?ln(1?x)?ln(1?x?o(x)o?o?所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法

求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x)?|x|，则limx?0f(x)?f(?x)?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）. x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0)?0.

在（C）中，limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，所以(C)项正确，故选(D) 存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.

3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得

11? F(3)??21???22?

F(?2)??212113?F(2)??2??， ，???2228?202121f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx??1??. ?0??2?022

33 所以 F(3)?F(2)?F(?2)，故选（C）. 44

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】

【例3.40】.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，?

2?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，

故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.

5…….【分析】本题考查需求弹性的概念.

【详解】选（D）.

商品需求弹性的绝对值等于 dQP?2P???1?P?40， dPQ160?2P

故选（D）.

【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

【详解】limy?lim??ln1?e????,limy?lim??ln1?e??0， x???x???xx???x???x????

所以 y?0是曲线的水平渐近线； ?1?x???1?x??

limy?lim??ln1?ex???，所以x?0是曲线的垂直渐近线； x?0x?0x

x1exx?ln?1?e?ln1?ex??y lim?lim?0?lim?lim?1， x???xx???x???x???xx1?1?????

b?lim?y?x??x????1li?x????x??n1??ex???l??x，所以0y?x是曲线的斜渐近线.

故选（D）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜

渐近线不存在. 本题要注意e当x???,x???时的极限不同.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例

5.31】.

7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组x?1,?2,?3的线性相关性. 一般令

??1,?2,?3????1,?2,??3A，若A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.

或者因为

10?1?10?1???110??1??2,?2??3,?3??1????1,?2,?3????，而?110?0，

?0?11?0?11?? 所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），（B），（C），（D）中的

向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. TTT

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.

8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

??2

【详解】 由?E?A?111??(??3)2可得?1??2?3,?3?0， 1

1??21??2

所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）.

【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）.

完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.

9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.

【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝

1 ?C3p(1?p)2p?3p2(1?p)2，

故选（C）.

【评注】本题属基本题型.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】

10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式

fX|Y(x|y)?f(x,y)可求解. fY(y)

【详解】因为?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y). 故fX|Y(x|y)?f(x,y)fX(x)fY(y)??fX(x)，应选（A）. fY(y)fY(y)

【评注】若?X,Y?服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3x21??x3?x2?1?0?0,|sinx?cosx|?2， 【详解】因为lim?limx???2x?x3x???x311?x2

x3?x2?1所以lim(sinx?cosx)?0. x???2x?x3

【评注】无穷小的相关性质：

（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；

（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；

（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】

12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.

(?1)n2nn!(?1)n2nn!12(n)(n)【详解】y?，则y(x)?，故y(0)?. ,y???n?12n?13(2x?3)2x?3?2x?3?

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.

13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.

【详解】利用求导公式可得

?zy1??2f1??f2?， ?xxy

?z1?x??f1?2f2， ?yxy

篇五：2007年考研数学(三)真题解析

2007年考研数学（三）真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当x?

0时，1??1，1???

1?

22?1x， 2

故用排除法可得正确选项为（B）.

事实上，lim?x?0lim?lim?1， x?0??0?

或ln?ln(1?x)?ln(1?x?o(x)o?o?.

所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用

赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x)?|x|，则limx?0f(x)?f(?x)?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）. x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0)?0.

在（C）中，limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，所以(C)项正确，故选存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x

(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.

3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得

11? F(3)??21???22?

F(?2)??212113?F(2)??2??， ，???2228?022121f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx??1??. ?0??2?022

33 所以 F(3)?F(2)?F(?2)，故选（C）. 44

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例

3.38】【例3.40】.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，?

2?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，

故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例

7.6】.

5…….【分析】本题考查需求弹性的概念.

【详解】选（D）.

商品需求弹性的绝对值等于 dQP?2P???1?P?40， dPQ160?2P

故选（D）.

【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

【详解】limy?lim??ln1?e????,limy?lim??ln1?e??0， x???x???xx???x???x????

所以 y?0是曲线的水平渐近线； ?1?x???1?x??

limy?lim??ln1?ex???，所以x?0是曲线的垂直渐近线； x?0x?0x

x1exx?ln?1?e?ln1?ex??y lim?lim?0?lim?lim?1， x???xx???x???x???xx1?1?????

b?lim?y?x??x????1li?x????x??n1??ex???l??x，所以0y?x是曲线的斜渐近线.

故选（D）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线

时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x???,x???时的极限不同.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，

【例5.31】.

7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组x?1,?2,?3的线性相关性. 一般令

??1,?2,?3????1,?2,??3A，若A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.

或者因为

10?1?10?1???110??1??2,?2??3,?3??1????1,?2,?3????，而?110?0，

?0?11?0?11?? 所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），（B），（C），（D）

中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. TTT

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例

3.3】.

8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

??2

【详解】 由?E?A?111??(??3)2可得?1??2?3,?3?0， 1

1??21??2

所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）.

【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）.

完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.

9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.

【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝

1 ?C3p(1?p)2p?3p2(1?p)2，

故选（C）.

【评注】本题属基本题型.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】

10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式

fX|Y(x|y)?f(x,y)可求解. fY(y)

【详解】因为?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y). 故fX|Y(x|y)?f(x,y)fX(x)fY(y)??fX(x)，应选（A）. fY(y)fY(y)

【评注】若?X,Y?服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3x21?x?xxx3?x2?1?0?0,|sinx?cosx|?2， 【详解】因为lim?limx???2x?x3x???x311?x2

x3?x2?1所以lim(sinx?cosx)?0. x???2x?x3

【评注】无穷小的相关性质：

（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；

（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；

（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例

1.43】

12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.

(?1)n2nn!(?1)n2nn!12(n)(n)【详解】y?，则y(x)?，故y(0)?. ,y???n?12n?13(2x?3)2x?3?2x?3?

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，

【例2.21】.

13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.

【详解】利用求导公式可得

?zy1??2f1??f2?， ?xxy

?z1?x??f1?2f2， ?yxy

字数作文