地球上两点最短距离

篇一：地球上两点间最短距离及走法

地球上两点间最短距离及走法

一、

？

的①—⑤弧线可以看出二个特点：一是都长于线段AB，二是从①到⑤逐步变短。因此我们可以想象当通过A、B点的弧线半径无穷大时，其上的弧AB接近线段AB，所以有“球面两地之间的最短距离是通过这两点的大圆的劣弧段”。该定理同样适用于立体几何，如右图所示。

二、地球表面两点间最短距离

1、常见的地球队上的大圆有三个（类）：赤道、经线圈、晨昏线。

2、如果两点的经度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一经线上，最短距离＝纬差×111KM；如果两点的纬度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一纬线上，最短距离＝经差×COS纬度×111KM。

三、地球上两点间最短距离的走法

1、若两点在赤道上，则两点间最短航线应是沿着赤道朝两点间的劣弧方向运动，即向东或向西。

2、若两点在同一条经线上，则两点间最短航线应是沿着经线朝两点间的劣弧方向运动，即向北或向南。

3、若两地的经度差等于180，则经过这两点大圆是经线圈。这两点间的最短距离是经过极点。

①同在北半球，最短航线必须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。

②同在南半球，最短航线必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过南极点后再向正北。

③两地位于不同半球，这时需要考虑经过北极点为劣弧，还是经过南极点为劣弧，然后确定最短航线的走向和航程。

4、若两地的经度差不等于180，则经过这两点大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航线不经过极

点，具体分为两种情况：

①甲地位于乙地的东

方，从甲到乙最短航程为：

同在北半球，先向西北，再

向西，最后向西南；同在南

半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时，需要讨论哪一段为劣弧段。

② 甲地位于乙地的西方，

从甲到乙最短航程为：同在北

半球，先向东北，再向东，最

后向东南；同在南半球，先向

东南，再向东，最后向东北；

位于不同半球时，需要讨论哪

一段为劣弧段。

5、俯视图，经过两点的大圆的劣弧部分形状可视为两点间的直线（如图）。

6、晨昏线上两点之间的最短距离即该晨昏线上两点之间的劣弧部分。（如下图中的GH之间）

B A

篇二：关于地球上两点间的最短航线方向问题

关于地球上两点间的最短航线方向问题

一.最短航线的判断依据：

球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。

二、图示圆弧是否属于大圆

看圆弧直径是否等于地球直径

三、找大圆上两点的劣弧

过两点的弧小于180度

1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示）

AB 、 CD 、 EF

2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示）

F

（图1） （图2）

四、地球上两点间的最短航线方向确定

1、两点在同一经线圈上

a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走

例如（图1） A到B向正北走；反之，B到A向正南走。

b．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断）

过A、B两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A、B两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。

例：如图2 从A到B先向正北走后向正南走；反之，从B到A先向正南走后向正北走。

B

A

如图1

如图2

2、两点在同一纬线上

a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走

如图1 A到B向正东走，反之，B到A向正西走。

b．两点不在赤道上

①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南

北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走

②．东西方向的确定

走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2

A到B先西北后西南，C 到D先向东南后向东北

B

B C A

D

（如图

1） （如图2）

3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A、B两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点

T时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判

断方法）

（如左图） 例:A到B向东南走；反之，B到A向西北走；

从C到D向东北走, 从D到C向西南走

b．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的

切点T时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断）

①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T时，南北方

向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点

T时，先向南走，后向北走

②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走；

反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。

如左图 例: 从A到D 先向西北后向西南;从B向C先东

南后东北走. TS

篇三：利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离

利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离 陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312

简单几何体的侧面展开图,除用以计算几何体的面积外,还有一个很重要的作用,教材上很少涉及.但对学生来说却很有趣,这就是用以解决几何体上两点间的最短距离问题.这类问题乍看起来无从下手,但作适当的转化,就可找到问题的突破口,使问题变得简单明了.本文通过教学中的例子对这个问题进行探讨.

一、对于多面体上两点间的最短距离,直接求解往往有困难,可采取把立体图形展开成平面图形,通过“化折为直”的途径予以解决.

例1（2005年江西高考题）

分析: 引导学生观察直观图,进行分析、探索.根据对称性,从E到F走“近道”绕过棱B1B、A1B1、AC （1）E—B1B—F； 11有三种走法：

（2）E—A1B1—F； （3）E—A1C1—F.要求最短距离,怎么办?在三棱柱表

面上弯来拐去的不好确定.若能把每一条路线所经过的两个平面“拉平”就好办了，因此，把表面展开，在展开图中进行比较、计算. 解: 对于三种走法(1)、（2）、（3），作三棱柱的表面展开图（如图示），连接EF，得到三条线段，设它们的长分别为l1、l2、 l3，则

l1??

l2?2

?

?

l3?. 因为 l3?l2?l1, 2

所以沿棱柱表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 2

点评: 由上例可以看出,在多面体中,要求几何体表面上两点之

间的最短距离,可利用展开图.由平面上“两点之间线段最短” 即可求得,如果路径有多条,可通过比较,选取最短者.

例2(2006年江西高考题)

分析: 在例1的基础上,学生可很快得到本题的解题思路:沿侧棱AA1展开并重复一次得展开图(如图示),图中矩形对角线AA1的长即为所求的最短距离.显然AA

1??10.

二、对于旋转体表面上两点间的最短距离，直接求解学生可能感到束手无策，若能将空间曲面转化为平面，就可通过“化曲为直”的途径予以解决.

篇四：地球上两点之间的球面距离(卫福山)

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考

卫福山（上海市松江二中）

一、教学内容分析

球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.

二、教学目标设计

1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.

2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.

3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.

三、教学重难点

教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.

教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.

四、教学内容安排

（一）、知识准备

1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径

为6371千米的球.（理想模型）

2、经度、纬度等相关知识

地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.

经线:经过北南极的半大圆,称为经线.

本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计

量经度，称为东经和西经,从0度到180度.

经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面

角的度数.参见右图.

赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心

就是球心.

纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为

北纬,位于赤道之南的称为南纬.

纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度

到90度.参见上图.

3、 球面距离

在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.

问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧？

解释如下：如图所示，A、B是球面上两点，圆O?是经过A、B

的?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我恍≡玻ㄎ?/p>

?

?

线圆），O是球心，设?AOB??,?AO?B??,

B两地所在的大圆劣弧长为?,??(0,?),地球半径为OA?OB?R,小圆半径为O?A?O?B?r,则A、

s1?R?,小圆的劣弧长为s2?r?,下面只要说明s1?s2即可。

在?AOB与?AO?B中，由于AB?2Rsin?

2?2rsin?

2Rsin，于是r??，

sin2

s1R???. ???s2r?sin?sin222

???sinx?),数y??,?(函由于?,??(0,在x?(0,)上单调递减（利用导数知222x2

cosx????y??2(x?tanx?)，从而单调递减）0，又由于R?r,从而sin?sin，即?，于是有x2222从而 sin?sin??

sin?

?sin?2，即s1?1,s?s,因此，在连结球面上两点的路径中，通过这两点的大圆劣弧最短. 12s2

2

4、一些记号

设地球球面上A地的纬度、经度分别为?,?（弧度制为单位），类似于平面直角坐标系中点的坐标，用A(?,?)表示A地的球面坐标，显然??[0,?],??[0,?

2].

（二）、创设问题情境

飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线.飞机的航线不仅确定了飞机飞行具体方向、起讫点和经停点，而且还根据空中交通管制的需要，规定了航线的宽度和飞行高度，以维护空中交通秩序，保证飞行安全.飞机航线的确定除了安全因素外，也取决于经济效益和社会效益的大小，其中有一项毫无疑问是追求航线尽可能的“短”，那怎样才能做到这一点呢？

（三）、地球上两点间的距离的常见题型

1、同经度不同纬度的两点间的球面距离：如图所示，设A(?1,?),B(?2,?)为

地球球面上同经度但不是同纬度的两点（纬度分别为?1,?2，规定北纬时纬度为

正，南纬时纬度为负，经度为?），则球心角?AOB?|?1??2|，则A、B

两地的球面距离为s?R?|?1??2|（R为地球半径）.----------------（公式一）

注：同经度不同纬度的A、B两地实质上已经在一个大圆上，只要求出球心角（圆

心角），即两地的纬度差（和）即可.

2、同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设A(?,?1),B(?,?

2)为地

球球面上同纬度但不同经度的两点(纬度为?，经度分别为?1,?2，规定东经时经度为正，西经时经度为负)，点A、B在赤道平面上的投影分别为C、D，则

?AOC??OAO???,?BOD??OBO???,

?COD??AO?B?|?1??2|（若|?1??2|?(?,2?)，则?AO?B?2??|?1??2|），且cos?AO?B?cos|?1??2|?cos(2??|?1??2|).四边形ABDC是矩形，AB=CD.小圆半径O?A?O?B?Rcos?，于是在△AO’B中，由余弦定理得

AB??2Rcos?sin|?1??2|. 2

R2?R2?AB2

22|?1??2|?1?2cos?sin在?AOB中，由余弦定理得cos?AOB?， 2R22

于是球心角?AOB?arccos(1?2cos?sin22|?1??2|)，则A、B两地的球面距离为2

s?R?arccos(1?2cos2?sin2|?1??2|)（R为地球半径）.------------（公式二） 2

注：同纬度不同经度的A、B两地距离实质上只要考虑如右图所示的三棱

锥O?ABO?，其中OA?OB?OO??R,?O?AO??O?BO为纬度，?AO?B

为两地的经度差（和）（或经度差相对周角的补角），

?,BO??OO?A?O面?O?AOB即可. A，只要能求出球心角B

3、（拓展）不同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设

A(?1,?1),B(?2,?2)为地球上不同纬度不同经度的两点(纬度分别为?1,?2，

经度分别为?1,?2，规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为

正，西经时经度为负)，点A、B在赤道平面上的投影分别为C、D，则

?AOC??1,?BOD??2，

，?COD?|?1??2|（若|?1??2|?(?,2?)，则?COD?2??|?1??2|）

OAO?BR?OCR,?ODocs,R?1?ocsAC,R?2nisBD?,Rnis?1,??2

在?COD中，由余弦定理得

CD??在直角梯形ABDC中，易求

AB??在△AOB中，由余弦定理有

R2?R2?AB2

cos?AOB??sin?1sin?2?cos?1cos?2cos|?1??2|. 22R

于是球心角为?AOB?arccos(sin?1sin?2?cos?1cos?2cos|?1??2|)，

则A、B两地的球面距离为s?R?arccos(sin?1sin?2?cos?1cos?2cos|?1??2|).

（R为地球半径）.-------------------（公式三）.

注：不同纬度不同经度的A、B两地距离实质上只要考虑如右图所示的四棱锥

O?ABDC，其中OA?OB?R,?AOC,?BOD为A、B的纬度，?COD为

两地的经度差（和）（或经度差相对于周角的补角），AC?面COD,BD?面COD，四边ABDC为直角梯形，只要能求出球心角

?AOB即可。而且容易验证公式一、二都满足公式三. D

（四）例题应用

例1：已知上海的位置约为东经121?，北纬31?，台北的位置约为东经121?，北纬25?，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）

分析：两地点经度相同，已保证两者已落在大圆上.

解：作出如右图所示的简图，则球心角?AOB?31?25?6, ???

6?

???667（千米）. 于是两个城市之间的距离为s?6371??180例2：已知北京的位置约为东经116?，北纬40?，纽约的位置约为西经74?，北纬40?，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）

分析：两地同纬度不同经度.

解：作出如右图所示的简图，A(40?,116?),B(40?,?74?)分别表示北京与纽约，

???则?OAO???OBO??40?,经度差?AO?B?360??[116，于?(?74)]?170

是小圆半径为O?A?O?B?Rcos40，使用公式二得两地的距离为 ?

s?6371?arccos(1?2cos240?sin285?)?11062（千米）.

五、教学反思

本节课可以作为一节师生共同探究课.引入中，从学生学习的地理知识入门，问问学生在地理上了解的经度、纬度的定义及其中的道理，极大激起学生的学习热情.本节课中球面距离定义中“经过两点的大圆的劣弧长最短”是难点，因为这一结论的证明需要用到高等数学知识，即利用导数证明函数y?sinx?在x?(0,)上单调递减，这可以作为部分学有余力的学生课下钻研。在求两点的球面距离x2

中，如何在棱锥中利用边角的关系求出球心角是解题的核心，只要学生能正确把握大圆、小圆的关系以及纬度差、经度差与棱锥的角的关系，并恰当使用余弦定理，解决这类问题还是非常容易的。最后，我们可以给出地球上两点间的球面距离的一个统一公式，即

球面距离s?R?arccos(sin?1sin?2?cos?1cos?2cos|?1??2|)，

其中A(?1,?1),B(?2,?2)分别表示地球上A地的纬度为?1，经度为?1，B地的纬度为?2，经度为?2，（规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为负)，R为地球的半径.

篇五：浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

上龛中学 付 彬

我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.

一、几何体为棱柱

问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A点有只蜘蛛在寻找实物，B点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm，5cm和5 cm，那么这只蜘蛛在A点发现苍蝇后，到B点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？

分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB。两者中较小的AB值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得

∠ACB＝90。 ，AC＝7，BC＝5＋5＝10，

∴ AB＝AC2?BC2?72?102?

②如图1-2，由题意，得

∠ACB＝90。，AC＝7＋5＝12，BC＝5，

∴ AB＝AC2?BC2?2?52?13

∵ ?13 图1 图

1-2 ∴ 所求最短爬行路线长cm。 图1-1

二、几何体为棱锥

问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图２，沿SA剪开得展开图２.

在⊿SAE中，,,SE=－1.

利用尺规作图可以找到E和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.

三、几何体为圆锥

问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.

解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.

在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.

取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.

四、几何体为圆柱

问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.

若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB1或MB１两条线段在圆柱上的对

应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

五、几何体为球

问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.

我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.

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