数学历史典故.pdf

篇一：数学历史故事

欧几里德(eucild)生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。

古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。

《原本》问世后，它的手抄本流传了1800多年。1482年印刷发行以后，重版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。

欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度。”

欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。”

欧氏还有《已知数》《图形的分割》等著作。

华罗庚

华罗庚,数学家，中国科学院院士。 1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。

1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届

全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。

在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著 《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

爱奥尼亚最繁盛的城市是米利都(Miletus,小亚细亚西南角海岸).地居东西方交通的要冲,也是古希腊第一个享誉世界声誉的学者泰勒斯(Thales 约公元前

640-546年)的故乡.泰勒斯早年是一个商人,以后游历了巴比伦,埃及等地,很快学会了天文和几何知识.

自然科学发展的早期,还没有从哲学分离出来.所以每一个数学家都是哲学家,就像我国每一个数学家都是历法家一样.要了解人与自然的关系,以及人在宇宙中所处的位置,首先要研究数学,因为数学可以帮助人们在混沌中找出秩序,按照逻辑推理求得规律.

泰勒斯是公认的希腊哲学家的鼻祖.他创立了爱奥尼亚哲学学派,摆脱了宗教,从自然现象中寻找真理,否认神是世界的主宰.他认为处处有生命和运动,并以水为万物的根源.泰勒斯有崇高的声望,被尊为希腊七贤之首.

泰勒斯在数学方面的划时代的贡献是开始了命题的证明.他所得到的命题是很简单的.如圆被任一直径平分;等腰三角形两底角相等;两条直线相交,对顶角相等;相似三角形对应边成比例;半圆上的圆周角是直角;两三角形两角与一边对应相等,则三角形全等.并且证明了这些命题.

泰勒斯游历了许多地方,他在埃及的时候,应用相似三角形原理,测出了金字塔的高度,使埃及法老阿美西斯(Amasis 二十六王朝法老)大为惊讶.泰勒斯对于天文也很精通,据说在他的故乡附近曾经存在过两个国家:美地亚国(Media)和吕地亚国(Lydia).有一年发生了激烈的战争.连续五年未见胜负,横尸遍野,哀声载道.泰勒

斯预先知道有日食要发生,便扬言上天反对战争,某月某日将大怒,太阳将被消逝.到了那一天,两军正在酣战不停,突然太阳失去了光辉,百鸟归巢,明星闪烁,白昼顿成黑夜.双方士兵将领大为恐惧,于是停战和好,后来两国还互通婚姻.据考证,这次日食发生在公元前585年5月28日.这大概是应用了迦勒底人发现的沙罗周期,根据公元前603年5月18日的日食推得的.

泰勒斯被誉为古希腊数学,天文,哲学之父,是当之无愧的.

斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）

意大利数学家，12、13世纪欧洲数学界的代表人物。生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。1200年左右回到比萨，潜心写作。

他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），算盘并不单指罗马算盘或沙盘，实际是指一般的计算。

其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。题目是一个不超过105的数分别被 3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。解法和《孙子算经》一样。另一个「兔子问题」也引起了后人的极大兴趣 。题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始， 一年后能繁殖成多少对兔子？这导致「斐波那契数列」：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。这数列与后来的「优选法」有密切关系。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法国数学家。

涉猎力学，着有分析力学。

百年以来数学界仍受其理论影响。

法国数学家、力学家及天文学家拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题「等周问题」的过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会

的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题〔木星的四个卫星的运动问题〕而再度获奖。 同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：「欧洲最大的王」的宫廷内应有「欧洲最大的数学家」，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》〔1788〕。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。

1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。

拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，而且还推动了代数学的发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇着名论文：《关于解数值方程》〔1767〕及《关于方程的代数解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔辅助方程或预解式〕以求解。 但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。

另外，他在数论方面亦是表现超卓。费马所提出的许多问题都被他一一解答，如：一正整数是不多于四个平方数之和的问题；求方程x2 - A y 2 = 1〔A为一非平方数〕的全部整数解的问题等。他还证明了π的无理性。这些研究成果都丰富了数论之内容。

此外，他还写了两部分析巨着《解析函数论》〔1797〕及《函数计算讲义》〔1801〕，总结了那一时期自己一系列的研究工作。 于《解析函数论》及他收入此书的一篇论文〔1772〕中企图把微分运算归结为代数运算，从而拼弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，为微积分奠定理论基础方面作出独特之尝试。他又把函数f(x) 的导数定义成f(x + h)的泰勒展开式中的h项的系数，并由此为出发点建立全部分析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，实只回避了极限概念，因此并未达到使微积分代数化、严密化的想法。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表示函数的处理手法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 而且，他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释，提出线性变换的特征值概念等。

数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作。为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法国数学家。

涉猎力学，着有分析力学。

百年以来数学界仍受其理论影响。

法国数学家、力学家及天文学家拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题「等周问题」的过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题〔木星的四个卫星的运动问题〕而再度获奖。 同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：「欧洲最大的王」的宫廷内应有「欧洲最大的数学家」，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》〔1788〕。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。

1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。

拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，而且还推动了代数学的发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇着名论文：《关于解数值方程》〔1767〕及《关于方程的代数解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔辅助方程或预解式〕以求解。 但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。

另外，他在数论方面亦是表现超卓。费马所提出的许多问题都被他一一解答，如：一正整数是不多于四个平方数之和的问题；求方程x2 - A y 2 = 1〔A为一非平方数〕的全部整数解的问题等。他还证明了π的无理性。这些研究成果都丰富了数论之内容。

此外，他还写了两部分析巨着《解析函数论》〔1797〕及《函数计算讲义》〔1801〕，总结了那一时期自己一系列的研究工作。 于《解析函数论》及他收入此书的一篇论文〔1772〕中企图把微分运算归结为代数运算，从而拼弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，为微积分奠定理论基础方面作出独特之尝试。他又把函数f(x) 的导数定义成f(x + h)的泰勒展开式中的h项的系数，并由此为出发点建立全部分析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，实只回避了极限概念，因此并未达到使微积分代数化、严密化的想法。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表示函数的处理手法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 而且，他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释，提出线性变换的特征值概念等。

篇二：【数学故事】

【数学故事】

追寻数学大国的历史脉络

一、古代数学领跑世界

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。

中国数学的起源与早期发展，在古代著作《世本》中就已提到黄帝使“隶首作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，中国已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为中国古代的计算工具，是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。

关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。

战国(公元前475年～前221年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。如《墨经》(约公元前4世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义。

在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周(公元前11世纪～前8世纪)。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。

《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。代数方面，《九章算术》的成就是具有世界意义的，“方程术”即线性联立方程组的解法；“正负术”是《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献，即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。

《九章算术》的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。

从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。

《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的成果。

刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。

祖冲之(公元429年—500年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江)从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。《南齐史》“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。

球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中。祖冲之算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。

之后的大唐盛世是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。

中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。 到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元960年—1368年)，重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、 记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。

贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)摘录，因能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我飧叽畏健?/p>

秦九韶(约公元1202年—1261年)在他的代表著作《数书九章》中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

秦九韶的大衍总数术，是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了中国古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。中国古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。

古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600年刘焊在《皇极历》中使用了二次内插公式来推算日月五星的经行度数。

最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。

中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式,与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。（待续）

第二课 直线形面积的计算（一）

【核心观点】

1．三角形面积公式： 2．长方形面积公式： 3．平行四边形面积公式：

4．常用结论：

①等底等高的两个三角形面积相等．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

【问题1】如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为米．求三角形ABC的面积． 【解析】

D

【问题2】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的厘米．求三角形CDF的面积．

EA【解析】

【问题3】如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE?EF?FC?1BC，

3

D

G

B

E

F

C

A

E

D

1

C

平方厘

B

C

面积为4平方

FA

求阴影部分的

面积占△ABC面积的几分之几？ 【解析】

【问题4】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交若S?ADE?1，求△BEF的面积．

【解析】

【问题5】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到形，新正方形比原来的正方形大120平方厘米，求原来的正方形的面积. 【解析】

【问题6】如图正方形客厅边长12米，若正中铺一块正方形的纯毛地毯，

D

C

E

B

DA延长线于F，

F

A

一个新的正方

A

6

B6

外围铺化纤地

毯，共需费用22455元，已知纯毛地毯每平方米250元，化纤地毯每平方米35元，问铺在外围的化纤地毯的宽度是多少分米？ 【解析】

BA

【问题7】如图ABFE和CDEF都是长方形AB的长是4厘米，BC的长是3厘

FE

米，那么图中的阴影部分面积是多少平方厘米？ 【解析】

DC

【问题8】⑴如下左图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，则阴影部分面积是（）； ⑵如下中图，梯形的下底长26厘米，高10厘米，则阴影部分的面积是（ ）；

⑶如下右图，长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是8、4、6，则阴影部分的面积是（）.

AE

FD

A

8

M

6P

4

BN

B

C

C

【解析】

【问题9】⑴如下左图，在平行四边形ABCD中，SABCD＝10，ED＝FC，求四边形EHFG的面积； ⑵如下中图，平行四边形面积是72，长方形DFEG的宽EF＝8，则FD＝（ ）；

⑶如下右图，在长方形ABCD中，已知BC＝10，S△ABO＝8，S△BCO＝12，S△ADO＝10，则AB＝（ ）.

F

A

10

D

AED

AE

8

12

B

C

F

C

BC

【解析】

【问题10】如图有九个小长方形，其中编号为1，2，3，4，5的5个小积分别为2，4，6，8，10平方米，求6号长方形的面积. 【解析】

【问题11】如图直角三角形ABC的三边分别为：AC=30分米，米，BC=24分米,ED垂直于AC，且ED=95厘米，问正方形BFEG少厘米？

A

长方形的面

FE

C

AB=18分的边长是多

BG

【解析】

【问题12】如图一个平行四边形的一边长15厘米，这条边上的高为6厘米，一条

6

线段将此平行四边形分为两个部分，他们面积相差18平方厘米，那么梯形的上底

15

是多少厘米 ？ 【解析】

7

【问题13】一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米，把它的右上角往下折，再把左下角往

5

上折叠如图所示，那么，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】

【问题14】如图直角梯形ABCD中，AB=15厘米，BC=12厘米，AE垂直于BAB，阴影部分A面积是15平方厘米，问梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

E

【解析】

CFD

AED【问题15】如图，ABCD是梯形，ABFD是平行四边形，CDEF是正G方形，AGHF是长方形，又知AD=14厘米，BC=22厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米？ C

F

H【解析】

【问题16】用1、2、3、4、5、7作为这个图形6个边长，那么这个图形最大面积是多少？ 【解析】

试试看

1. 如下图，长方形ABCD的长是20，宽12，求阴影部分的面积.

A D A A D D B C B C C B 【解析】

2. 如图，有一块菜地长16米，宽8米。菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平

篇三：【数学故事】

【数学故事】

追寻数学大国的历史脉络

一、古代数学领跑世界

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。

中国数学的起源与早期发展，在古代著作《世本》中就已提到黄帝使“隶首作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，中国已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为中国古代的计算工具，是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。

关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。

战国(公元前475年～前221年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。如《墨经》(约公元前4世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义。

在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周(公元前11世纪～前8世纪)。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。

《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。代数方面，《九章算术》的成就是具有世界意义的，“方程术”即线性联立方程组的解法；“正负术”是《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献，即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。

《九章算术》的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。

从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。

《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的成果。

刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。

祖冲之(公元429年—500年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江)从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。《南齐史》“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。

球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中。祖冲之算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。

之后的大唐盛世是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。

中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。

到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元960年—1368年)，重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、 记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。

贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)摘录，因能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。

秦九韶(约公元1202年—1261年)在他的代表著作《数书九章》中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

秦九韶的大衍总数术，是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了中国古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。中国古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。

古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600年刘焊在《皇极历》中使用了二次内插公式来推算日月五星的经行度数。公元727年，僧一行又在他的《大衍历》中将刘焊的公式推广到自变量不等间距的情形。但由于天体运动的加速度也不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求。到了宋元时代，便出现了高次内插法。

最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。

中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式,与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。（待续）

第二课 直线形面积的计算（一）

【核心观点】

1．三角形面积公式： 2．长方形面积公式： 3．平行四边形面积公式： 4．常用结论：

①等底等高的两个三角形面积相等．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

【问题1】如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积的面积． 【解析】

【问题2】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE形CDF的面积．

【解析】

【问题3】如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE?EF?FC?1BC，

3

D

G

B

E

A

E

为1平方厘米．求三角形ABC

C

B

的面积为4平方厘米．求三角

F

A

求阴影部分的面积占△ABC面

积的几分之几？

【解析】

【问题4】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，

D

C

E

B

交DA延长线于F，若S?ADE?1，

F

求△BEF的面积． 【解析】

【问题5】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新的正方形，新正方形比原

A

来的正方形大120平方厘米，求原来的正方形的面积. 6【解析】 B 6

【问题6】如图正方形客厅边长12米，若正中铺一块正方形的纯毛地毯，外围铺化纤地毯，共需费用22455元，已知纯毛地毯每平方米250元，化纤地毯每平方米35元，问铺在外围的化纤地毯的宽度是多少分米？ 【解析】

BA

【问题7】如图ABFE和CDEF都是长方形AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中的阴影

FE

部分面积是多少平方厘米？ 【解析】

DC

【问题8】⑴如下左图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，则阴影部分面积是（）；

A

⑵如下中图，梯形的下底长26厘米，高10厘米，则阴影部分的面积是（ ）；

⑶如下右图，长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是8、4、6，则阴影部分的面积是（）.

AFD

A

8

M

6P

4

BN

B

C

C

【解析】

【问题9】⑴如下左图，在平行四边形ABCD中，SABCD＝10，ED＝FC，求四边形EHFG的面积； ⑵如下中图，平行四边形面积是72，长方形DFEG的宽EF＝8，则FD＝（ ）；

⑶如下右图，在长方形ABCD中，已知BC＝10，S△ABO＝8，S△BCO＝12，S△ADO＝10，则AB＝（ ）.

F

A

10

D

D

AED

AE

8

12

B

G

C

F

C

BC

【解析】

【问题10】如图有九个小长方形，其中编号为1，2，3，4，5的5个小8，10平方米，求6号长方形的面积. 【解析】

【问题11】如图直角三角形ABC的三边分别为：AC=30分米，垂直于AC，且ED=95厘米，问正方形BFEG的边长是多少厘米？ 【解析】

【问题12】如图一个平行四边形的一边长15厘米，这条边上的高

A

长方形的面积分别为2，4，6，

AB=18分米，BC=24分米,ED

FE

C

BG

为6

厘米，一条线段将此平行四

6

15