递推改写为迭代

篇一：递推.递归.迭代说明

递推

递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法.

递推是序列计算机中的一种常用算法。它是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。

递推算法递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法.

【例1】

植树节那天，有五位同学参加了植树活动，他们完成植树的棵树都不相同。问第一位同学植了多少棵时，他指着旁边的第二位同学说比他多植了两棵；追问第二位同学，他又说比第三位同学多植了两棵；... 如此，都说比另一位同学多植两棵。最后问到第五位同学时，他说自己植了10棵。到底第一位同学植了多少棵树？

分析：设第一位同学植树的棵树为a1,欲求a1，需从第五位同学植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照一定顺序逐步进行推算：

(1) a5=10;

(2) a4=a5+2=12;

(3) a3=a4+2=14;

(4) a2=a3+2=16;

(5) a1=a2+2=18;

Pascal程序：

Program Examl;

Var i,a:byte;

begin a:=10; for i:= 1 to 4 do a:=a+2; writeln('The Num is' ,a); readln; end. 本程序的递推运算可用下图示表示：

初始值a:=10 ----- i=1,a=a+2(12) ----- i=2,a=a+2(14) ------ i=3,a=a+2(16) ----- i=4,a=a+2(18) ---- 输出a值

例2：

十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法; 第二步,

放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

递推算法以初始（起点）值为基础，用相同的运算规律，逐次重复运算，直至运算结束。这种从“起点”重复相同的方法直至到达一定“边界”，犹如单向运动，用循环可以实现。递推的本质是按规律逐次推出（计算）先一步的结果。

迭代法

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

目录

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

举例

例 1 ： 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？

分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，??根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有

u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，??

根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：

u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)

对应 u n 和 u n － 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：

y=x*2

x=y

让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ： 阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。

分析： 根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后充满容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2^20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2^20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、??第 1 次分裂之前的个数。

设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、??第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、?? x n-1 =x n /2 (n ≥ 1) 因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：

x=x/2 （ x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2^20 ）

让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

ps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20)；返回double，稍微注意一下 例 3 ： 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；

若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。 要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。

分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：

if n 为偶数 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1 if n mod 2=0 then rem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2 n=n/2 print "—";n; else n=n*3+1 print "—";n; end if loop end 迭代法开平方： #include #include void main() { double a,x0,x1; printf("Input a:\n");

篇二：迭代与递推

迭代与递推

1）迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。例如：斐波那契数列

例子：兔子繁殖问题

一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。

?问题分析

因为一对兔子从出生后第三个月开始每月生产一对小兔子，则每月新下生的小兔子的对儿数显然由前两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下：

一月 二月 三月四月 五月六月 ……

1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=55+3=8 ……

?数学建模（斐波那契数列）

y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……

2）倒推法的概念

?倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从后向前推解问题的方法。例如，在不知前提条件的情况下，由结果倒过来推解它的前提条件，从而求解问题。又如，由于存储的要求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题进行分析或建立数学模型时，

从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推法，则问题容易理解和解决。

例子：穿越沙漠问题

用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮油量。

?问题分析

贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达终点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。这样只能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。 ?数学模型

根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段讨论。

第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。

第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。

下面讨论怎样走效率高：

1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。

2）每次向前行进时吉普车是满载。

3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。

?综上分析

从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5，500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。

?终极解释：

1）从终点推，到终点必须正好没油，且中途加油站也耗光。所以距离终点500公里有一个500加仑储油点

2）第二个，要想把第一个储油点，储500加仑，最少需要三次，且汽车需要满载油，则距离为500*2 - 3X=500 得距离X=500/3 储油量：500*2=1000

3）第三个，距离计算公式：500*3 -5x

=1000 -->x=500/7 储油量：3*500=1500

二，分治与递归

1） 分治法在每一层递归上都有三个步骤：

（1）划分：把输入的问题实例划分为若干子问题，尽量使子问题的规模大致相同。

（2）求解：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则，当问题的规模大于某个预定义的阀值时，求解步骤由个递归调用组成。

（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治和递归的关系

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中。因为从分治法的算法框架中可以看出，分治法设计出的算法一般是一个递归过程。

2）二分治的基本思想

在算法设计中每次一个问题分解成的子问题个数一般是固定的，每个子问题的规模也是平均分配的。当每次都将问题分解为原问题规模的一半时，称为二分治法。二分法是分治法较常用的分解策略，数据结构课程中的折半查找、归并排序等算法都是采用此策略实现的。

例题：二分治法求最大、最小值

[html] view plaincopy

1. #include

2. using namespace std;

3. void FindMaxAndMin(int a[], int begin, int end, int* pmax,int* pmin)

4. {

5. if(end-begin <=1) //递归出口

6. {

7.if(a[begin] <= a[end])

8.{

9. *pmax = a[end];

10. *pmin = a[begin];

11. return;

12.}

13.else

14.{

15. *pmin = a[end];

16. *pmax = a[begin];

17. return;

18.}

19. }

20. int min1, min2, max1, max2;

21. int mid = (begin+end)/2;

22. FindMaxAndMin(a, begin, mid, &max1, &min1);

23. FindMaxAndMin(a,mid+1, end,&max2, &min2);

24. *pmin = min1 < min2 ? min1 : min2;

25. *pmax = max1 < max2 ? max2 : max1;

26. }

27. int main()

28. {

29. int a[] = {1,2,3,4,5,9,41,8,12,20,98};

30. int max,min;

31. FindMaxAndMin(a,0,10,&max,&min);

32. cout<<"the max num is:"<

33. return 0;

34. }

35.

例题：线性时间求数组，第k小元素

? 问题分析

这个问题可以通过排序来解决，最好的排序算法的复杂性是O（n*log(n)），下面我们要利用分治法，找到复杂性为O（n）的算法。但这个问题不能用简单的二分法分解成完全独立、相似的两个子问题。因为在选出分解后第一组的第k小的数据和第二组的第k小的数据，不能保证在这两个数据之一是原问题的解。

? 例如：

求一组数据中的第2小数据：(-2,11,-4,13,-5,-3）

若用二分法将实例中的数据分解为两组(-2,11,-4),（13,-5,-3），第一个子问题的解是-2，第二个子问题的解是-3，两个子问题的解不能简单地得到原问题的解。原问题的解是-4。

? 解决方法

方案一，新建一个k数组，对k数组排序，然后每次将最大数跟余下数组中每一个数比较，“余下数”小则删除k数组中最大，然后将“余下数”插入k数组，遍历到最后，k数组中最大数为所求。

方案二，分治算法求解（******）

[html] view plaincopy 1. #include

2. using namespace std;

3.

4. class QuickSort

5. {

6. private:

7. int *arr;//待排序数组

8. int length;//数组长度

9. public:

10. //构造函数

11. QuickSort(int length)

12. {

13.arr=new int[length+1];

14.this->length=length;

15. }

16. //交换函数

17. void swap(int i,int j)

18. {

19.int temp=arr[i];

20.arr[i]=arr[j];

21.arr[j]=temp;

22. }

23. //输入数据

24. void input()

25. {

26.int i=1;

27.cout<<"please input 10 number:"<

28.while(i<=length)

29.{

30. cin>>arr[i];

31. ++i;

篇三：迭代法的改进与应用

迭代法的改进与应用

武汉市第48中学马芳鑫2011.4.5定稿

核心提示：本文对传统的迭代法作了一些改进，使得这方法 简单，更加便于应

用，同时自编了一首助记诗，便于记忆。这种方法的特征在于拉，因此我把这种新的迭代法命名为马尼拉法，简称拉法。可以这样说，一法在手，扫遍天下。

核心词；迭代法，改进，简单，易记。拉法。

正文：迭代法是一种古老而实用的方法，但因解题程序冗长，且不容易记住展开

式的第二项，且往往计算量很大，而让很多学生却步。本人经过详细研究，对迭代法进行了大胆的改进，使得它既简单又便于记忆，现在把它介绍给大家。

一． 迭代法及解题程序.迭代，最直白的意思就是代代相传，就是对输出的

结果进行同样的操作。要完成一次迭代必须给定种子和迭代法则。根据这个原理总结出的解题程序就叫迭代法。 父系：

母系 ：q

1

aa

1

a

3

a

4

4

---------------an?1

aq

4

——

q

2

-------------

3

q

n?1

2

n

3

n?1

-----

从遗传学的角度看：是隔2代分配，即(a1,q二.展开式结构图的深入分析

用迭代法求an

解：①an

n?1

),(a,q),(a,q)?

5

?Pa(来自:www.Zw2.cn 爱 作文 网)?kq(p,k,q?R)的通项

n?1

传统的方法一般是这样的

?pa?kq

n?1

n

n?2

n?1

n?1

②=p(pa?kq)?kq ③? ④? ⑤

2

n

n?2

pa?k(pq?q)

n?1

p(pa?kq)?k(pq?q)

2

n?1

n

n?1

n?3

?pa?k(pq?pq?q)

3

2

n?1

n

n?1

n?3

=--------⑥=

pa

m

n?m

?k(pq

m?1

n?m?2

?pq

m?2

n?m?3

???q)

n?1

=-------=⑦

pa?k(pq?pq???q)

n?1

n?2

3

n?3

4

n?1

1

qqq

⑧=pa?kpq(1?????)

ppqqq

⑨?pa?kpq[1?()]?(1?)

pp

2

n?2

n?1n?23

1

2n?2

n?1n?23n?1

1

kq(p?q)

⑩?pa?

p?q

3

n?1

n?

n?1

1

这就是传统意义上的用迭代法求递推数列的解题程序，共有10步。前7步是展开的过程，难点是⑦的第二项怎么写，⑧⑨⑩是计算过程，难点是怎么转化到⑧，怎么正确计算到⑩。我们把①～⑦组成的图叫迭代展开图。为了便于优化，下面我们进行一次深入详尽的分析：

让我们先作纵向的分析：先看迭代图左边的第一列，从上往下看，p的指数从1到n-1,是递升的，a下标由n-1到1，是下降的，p,a的指标和是定值n，也就是数n的折分。从整体看，它就是等比数列的通项公式，因此这个数列的通项公式应当有等比的成分，再加一个修正项才是合理的，而最后的结果⑩正是这样，而等比数列又是我们相当熟悉的，因此，我们就能理解第一列是怎么产生的，1到m再到n-1,上标与下标相对运动，最终对调了，象下拉的窗帘，下拉的菜单，而这些东西都是可上可下的，因此我们的展开式应当也是可以随意展开到任何一步的，象滚动的屏幕。这样，我们是不是对第一列是怎么产生的有了一个动态的形象的理解了，也就不存在不理解的理由了。

再看最后的一列，斜线形的，每一项是q

n?1

，象阶梯。因此，我们可以

得出这样的结论，斜线展开，尾项不变。

把上面这两点结合起来就可以得出这样的概念：整个展开式象梯形结构 下面再作横向的分析：先从左至右看每一行，容易看出，每一项都都是由pq的幂组成的积

pq，p的指数成降幂排列，一直到0，

s

t

q的指数是升幂排列的，但它的指数是从3开始的，为什么会是这样的呢？有什么规律没有？这个问题同样困扰了我很久，因为看来的东西，并不都是坚信不疑的，我对此进行了很长时间的研究，试图从理论上加以说明.让我们回到递推公式中去，我发现一切密秘都隐含在递推式中，它早已告诉了我们，只是我们没有发现而已。我想，只要我们知道每一项是怎么产生的，我们就没有现理由说，第二项我不知道怎么写了。我们把递推公式象下面这样改写一下

a?Pa?kpq(p,k,q?R)

1

n?1

n

n?1

两和一降相差2：它告清楚无误地告诉我们相邻两项p的指数永远是相差1的，并且是左大右小，这是先天的，与生俱来的，所以p当然是降幂排列的。a,q的指标永远相差2=(n+1)-(n-1)

n+1次齐次式。

项的原因所在。通俗地讲：首项的指标就是把n折成两个正整数的和，而a,q的指标就是把常数2折成两个正整数的差，这就是这个递推公式的核心。一般地讲，不同的递推公式aq有着不同的差，也就是所隔的代数一般是不同的。

下面重点看每个等式的第二项是怎么产生的，也就是下一项是怎么脬出来的，比如

?Pa????kq

3

n?3

n?1

?????????

3n?2

a??P(pa?kq?kpq????????拉走

分配

等和n3

aq等差2,

隔2代分配

n?2

n

?????????

脬化器

已成熟配子

第核未

代壁成

核n?4熟子

配项

新生项

下面我们用“核分裂”说，来解释这一现象，我们先作一个约定：每一个an都可以看成是一个可分裂的“核”。一次迭代视作一次分裂。p叫做配子，只有成熟的配子才能分配。因此，上面的递推关系就可以改述成：核向外膨胀到一定的程度就会发生分裂，每一次分裂都产生一个新的“核”和一个未成熟的配子p，另加一个待配项。 核分裂流程：每一次分裂产生一个新的核和一个未成熟的配子p,另加一个待配项kq

n?2

， 壁外待分配子则与待配项kq

n?2

进行分配，产出新生项

kpq

3

n?2

，并被拉到适当的位置排好，同时，新配子p成熟并移至壁外与

原有配子

p

3

结合成待分配子

p

4

并储存下来等待下一次分配。至此，一次核

分裂就算完成了。如此重复下去，将会不断地有新生项诞生，队（展开式）也将排得越来越长了，象拉杆天线！象生长的乐口销，象流水线，象卷尺！。而递推公式正好给出了这种核裂变的机理。到此，我们就知道，每一个等式的第二项即新生项就是这样产生，这样“拉”出来的。

一句话，有了正常的配子，又有了正常的待配项，生产出正常的新生项是再自然不过的事，这样说也许对我们理解展开式每一个等式的第二项是怎么来的会有所帮助了！

从理论上我们还可以证明每一新生项的次数一定是n+1次

?????????

n?m?1m?2

a??P(pa?kq?kpq?????????

分配

等和n

aq等差2,

隔2代分配m?2

n?m?1

n

?????????

脬化器

已成熟配子

第核未

代壁成

核m熟子

配

项

新生项

我们假定现在已递归到第m代，即am，由于p,a的指标和是定值n,所以壁外已成熟的配子数只能是n-m-1.由于是隔2代分配，所以待配项q的指数一定是m+2,即q

m?2

，分配后生出来的新生项就是kp

n?m?1

q

m?2

，它的次数

是(n-m-1)+(m+2)=n+1.由于展开式从第二项起每一项都是这样生出来的，所以每一项的次数都是n+1,因此，展开式从第二项起，都是n+1次齐次式，ok! 综上所述，我们对迭代展开图有了一个清析动态的理解：它象卷帘一样象下拉的菜单，可以自由的上下拉动，左右拉动。各项之间相互联系，各元素之间相对运动，矛盾对立但和谐共生。随着上下的拉动，展式向右逐次展开，整个展开式图呈梯形结构，就象列车运行票价图。这样我们就把静止的迭代展开图变得生动活泼了。从量的关系上看，一个等和，一个等差，是递推的核心！是密钥！ 三方法改进 1程序优化

由于迭代展开图上下是一种帘式反应，所以我们只要知道起点就可知终点，还可以写出中间的任意一行的展开式。因此展开时只须写起点和终点的程序，而中间点则成为行的通式，即

起点 ①an中间⑥=pa

m

?pa?kq

n?1

n?m

n?1

?k(pq

m?1n?2

3

n?m?2

?pq

m?2

n?3

4

n?m?3

???q)

n?1

n?1

终点=⑦

pa?k(pq?pq???q)

n?1

1

这大大地简化了解题的程序

2． 计算简化

⑦是等比数列求和，我们将改进计算方法，不是直接用等比数列的求和公式而是用两个字母的求和公式而且是它的变式即公式

q(p?q)①

pq?pq???pq?q?

p?q

2

n?1

n?1

n?2

2

n?3

3

n?1

n

这是新教材必修5，第68页B组的第一题的变式。今后我们会大量使用这个公式①

有了上面两次大的简化。这样整个解题程序也就只有下面三步了

解：an =

n?1

?pa?k(q)

1

n?1

n?1n?2

3

n?3

4

n?1

1

pa?k(pq?pq???q)

3

n?1

n?1

n?1

1

kq(p?q)

?pa?

p?q

这是一种全新的解法，因为是本人发现的，读者你也许将会使用这个方法，而且此法的特点是“拉”，所以本人将这个方法命名为马你拉法，谐音：马尼拉法

四助记诗。现在我们已经知道怎么用马尼法解题了，但这还不够，时间长了就会遗忘的。为了帮大家理解记忆我花了很长的时间编了一首助记诗，叫马尼拉诗， 现有3个版本：

马尼拉1.0: 加1括号，首项对调；

向后一拉，中间相加， 降幂排列，指数补差； 妙用公式，检验作答。

马尼拉2.0:加1括号，首项对调；

向后一拉，两底之积，中间相加； 降幂排列，一降一升，指数补差； 提取补差，系数相乘，上加下差。 通分化简，检验作答！

这是个完整版，适合基础很差的学生用。

马尼拉3.0 ：加1括号，首项对调，一拉就到！妙，妙，妙！

马尼拉诗适合各个层次的学生，只要有加减乘除正负号等到知识就可以做目前所出现的题

五背诗做题扫遍天下，一拉就到了！ 1．an

?2a?5?3,a?3

n?1

n?1

1

解：加1括号：an?21an?1?5(20?3n?1),——指数1，系数1=20 首项对调

?2a??,

n?1

1

两边一拉?2?an?1?5(???????????2?3?

底

底

1n?1

)?拉,

两底之积 2s?3t

中间相加 =2n?1a1?5(2?3?2?3????????20?3n), 降幂排列=2一降一升

n?1

a?5(23?23???23?3),

n?2

?

n?3

?

1

?

?

1