证明函数y=x+1/x在(1,正无穷)上为增函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/31 15:58:25

证明函数y=x+1/x在(1,正无穷)上为增函数
证明函数y=x+1/x在(1,正无穷)上为增函数

证明函数y=x+1/x在(1,正无穷)上为增函数
令x1>x2>1
f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1²x2+x2-x1x2²-x1)/x1x2
分母x1x2>0
分子=x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
=(x1x2-1)(x1-x2)
x1>x2,所以x1-x2>0
x1>1,x2>1,所以x1x2-1>0
所以分子大于0
所以x1>x2>1,f(x1)>f(x2)
所以是增函数

任取x1, x2, 1x2+1/x2-(x1+1/x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)(1-/x1x2)>0
即函数单调增加

f'(x)=1-1/x²在(1,+∞)f'(x)>0为增函数