已知正实数a,b满足a+b=1求证：（a+2)^2+(b+2)^2大于等于25/2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 22:52:50

已知正实数a,b满足a+b=1求证：（a+2)^2+(b+2)^2大于等于25/2
已知正实数a,b满足a+b=1求证：（a+2)^2+(b+2)^2大于等于25/2

已知正实数a,b满足a+b=1求证：（a+2)^2+(b+2)^2大于等于25/2
（a+2)^2+(b+2)^2=a^2+b^2+4(a+b)+8=a^2+b^2+12≥2*[(a+b)/2]^2+12=25/2
a^2+b^2≥2*[(a+b)/2]^2 是根据均值不等式推出的
根号下[（a^2+b^2）/2]≥(a+b)/2

∵a＞0,b＞0.∴a+b≥2(ab)½,当且仅当a=b时，等号成立，此时ab取最大值[(a+b)/2]²。又∵a+b=1∴当a=b=1/2时，ab=1/4.
又∵a+2＞0,b+2＞0,∴(a+2)²＞0，（b+2）²＞0.
∴[(a+2)-(b+2)]²≥0,即（a+2)²+(b+2)²≥2（a+2)(b...

全部展开

∵a＞0,b＞0.∴a+b≥2(ab)½,当且仅当a=b时，等号成立，此时ab取最大值[(a+b)/2]²。又∵a+b=1∴当a=b=1/2时，ab=1/4.
又∵a+2＞0,b+2＞0,∴(a+2)²＞0，（b+2）²＞0.
∴[(a+2)-(b+2)]²≥0,即（a+2)²+(b+2)²≥2（a+2)(b+2).当且仅当a=b时等号成立。
但当a=b时，ab=1/4（已证）,a+b=1/2(已知）.
∴（a+2)²+(b+2)²≥2(a+2)(b+2)=2[ab+2(a+b)+4]=2ab+4(a+b)+8=2×（1/4）+4×1+8=1/2+4+8=25/2。∴（a+2)²+(b+2)²大于或等于25/2 。

收起

已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a)求证：1/a+1/b=1/c 已知a,b为正实数,且a+b=1,求证3^a+3^b 已知正实数a,b,c满足abc=1,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2≥a+b+c 已知正实数a,b,c满足1/a+2/b+3/c=1 求证:a+b/2+c/3>=9 已知正实数A B C满足1/A+2/B+3/C=1,求证A+B/2+C/3≥9 已知正实数a,b满足a+b=1求证：（a+2)^2+(b+2)^2大于等于25/2 若正实数a、b满足a+b=1,求证√a+√b有最大值√2 已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b 已知a,b为正实数,求证：（a+b）×（1/a+1/b)≥4 已知a,b都是正实数,求证a^2+b^2≥ab+a-b-1 已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a 已知三个正实数a,b,c,满足a 已知a b为正实数,求证（a+1/b)(b+1/b)≥4 已知正实数a与b满足a+b=1,求1/a+2/b的最小值. 已知正实数 A B 满足 (A-1)(B-1)=4则A+B的最小值麻烦写出过程 已知正实数a,b满足a+b+1=ab,求3a+2b的最小值? 已知正实数a满足a+b=1,则ab/4a+9b的最大值 已知a,b是正实数,且a+b=1,求证1/a+1/b≥4过程啊