什么是概率论及大数法则?

什么是概率论及大数法则?
什么是概率论及大数法则?

什么是概率论及大数法则?
概率论（probability theory）
研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言的.在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象.例如在标准大气压下,纯水加热到100℃时水必然会沸腾等.随机现象则是指在基本条件不变的情况下,一系列试验或观察会得到不同结果的现象.每一次试验或观察前,不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性.例如,掷一硬币,可能出现正面或反面,在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐等等.随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.随机试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本事件统称随机事件,或简称事件.事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律.例如,连续多次掷一均匀的硬币,出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2.又如,多次测量一物体的长度,其测量结果的平均值随着测量次数的增加,逐渐稳定于一常数,并且诸测量值大都落在此常数的附近,其分布状况呈现中间多,两头少及某程度的对称性.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的.在实际生活中,人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程.例如,微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）,这就是随机过程.随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率,特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题,是现代概率论的主要课题.
大数法则原本是经济学中的概念,准确地说是统计学中的概念,但至今在学术上并没有精确的定义.根据英国经济家保罗·西布莱特的说法,“大数法则大致是说,相似个体所组成的大型群体的平均行为要比小型群体或群体中的个体行为更加容易预见.”[3]大数法则来源于统计数字所表现出来的规律性.人口统计奠基者英国十七世纪经济学家约翰·戈劳特就揭示了这样一条统计学原理：“通过大量充分的统计数字可以看出,各种现象（其中单个现象是偶然的）在整体上受着某种严格的规律性的支配.”[4]事实上,很多自然规律本身就是通过统计而得以以揭示的,比如昼夜交替与季节变换的自然规律.我们所说的自然规律的科学性只不过是在统计事实的基础上进行科学分析而得以求证出来的.人类的社会行为中所表现出来的稳定性特征往往也是通过统计归纳而得出.最早从事社会行为统计工作的学者们便已认识到,对于一个群体,即令不掌握其个体的动机,但当群体具备很大的数目后,规则性就会出现.在形成后的群体中,总是会呈现一定的普遍规律、一定的共同约束、一定的平均趋向和平均表现.尽管可能每一个体成员可以在几种选择中相当自由地行事,但当涉及长期性行为时,对总体的行为方式相对而言还是能够有所预测的.[5]本性看似最为变幻莫测的事件,单独看待时似乎是随机的和偶然的,但一旦涉及到足够多的次数,就能够表现出近似于数学规律的现象,人们凭此可以作出预见.因此,尽管单一事件没有意义,但如果该事件多次重复,实际结果的分布就会呈现出一定的比率.这就是大数定律.[6] 　　自社会统计学创始以来,社会统计学就运用于社会科学的调查之中,试图从调查的数据中发现一些普遍性的规律性的事实,比如通过人囗普查与统计揭示死亡率和出生率、性别与平均寿命、疾病与职业、教育程度与收入等之间所存在的稳定的关系.与约翰·戈劳特同时代并齐名的著名经济学家威廉·配弟在从事政治算术的研究时就声称其方法是“用数字、重量和尺度的词汇来表达我自己想说的问题,只进行能诉诸人们的感官的论证和考察在性质上有可见根据的原因.”[7]马尔萨斯的人囗论很大程度上是建立在统计的基础之上.社会统计所揭示出来的行为的预测性与稳定性,虽然人们不一定能理解人的行为原因,甚至无从提出可以信服的解释,但社会行为中毕竟存在着大规模的相似性与稳定性的特征.这表明,社会行为中的确存在一种可称之大数法则的定律.在大数法则的支配下,个体往往必须服从于群体所表现出来的大数法则,而个性也就在大数法则的支配下消失在统计数据所表现出来的总数中.统计学只提供数据.从统计数据上看,大数法则往往就表现为大多数人行为的相似性与稳定性. 　　关于多数人行为,其实就是指统计数据中通过概率所呈现出来的大量的人的稳定重复的行为.一个人的行为越是与多数人行为相似或接近,那么其行为就越会受到人们的肯定,至少不会受到人们的贬低.即便这种行为本身并不是善的,也会因为持有者是多数而受到人们的宽容,例如,对于久病床前的不孝之子,人们大都抱有理解和同情,至少不会太多的遣责.而对于极少数人才能做到的善,则会被人们极尽赞美,比如对于久病床前的孝子,人们会给予很多的谥美之词.所以,从统计学上讲,人类对于道德善恶的评价也是受到统计数据支持的,它并不是源于上帝的启示,而是源于人性的通常表现.多数人可做的就是应当的或者说是正常的,无什么善恶.高于一般人所为,则为人们所提倡的善,而低于多数人所为,则为人们所贬低的恶.从这一意义上讲,道德信条无非是对大数定律的维护. 　　多数人的行为也往往表现为平均人的行为.平均人的行为意指正常人,或说中性人.有学者以中人指称,[8]也有学者以“标准人”称谓.[9]多数人行为在统计学上往往表现为一种中性人稳定的行为倾向与行为评价.一般来说,多数人的行为往往就是最接近于平均人的行为,而平均人的行为值域则往往更多的受制于多数人的行为.一种行为越是接近于平均值,往往也就越是多数人的行为,而一种行为越是与多数人行为相似,往往也就越接近于平均人的行为的值域. 　　关于平均人的行为,法国科学家凯特莱认为,将人类作为一个整体来考虑,它的各个方面都属于物理事实的范围；人数越多,个人的意愿就越会深埋在普遍事实的系列之下,而普遍事实则取决于决定行为存在与延续的总体原因.既然社会的“存在与延续”是人们所需要的,那么人的平均行为便是“正确的”行为了.“平均人”的种种参数、物理性质乃至道德和审美观念,都代表着应当为所有人追求的完美平均情况.平均的就是出色的——一个能够在某段时期内集中表现出“平均人”的所有品性的人,他此时就代表了人类所有的优、善、美.而与非平均情况的偏离,无论是大是小,都会导致……形态的丑陋和道德的残缺,由是处于不健全的存在状态.[10]平均人的行为因为被看作是中等人之所为,人类行为总体而言不高不低,因而也就被人们认为是正常人所为.而如果偏离这一平均,或者会被赞美至极,或者会被贬低至极.所以,对于增高和美容的行为,我们也就可以理解那只不过是人们为了靠近平均值而作的努力,并非真得有什么不正常. 　　社会秩序是建立在对普通人来说自然而然的日常生活的基础上.[11]大数法则就是通过平均人的行为和多数人的行为所表现出来的持续性状态或稳定性倾向的规则性集合系统.大数法则展示了人类社会秩序建立与维持的人类学原因.人类社会正是借助了大数法则的功效维持了一种稳定的社会评价体系,并在这一稳定的评价体系所支持下维持一种稳定的社会秩序.“大数定律”的存在给我们带来了可敬的秩序与正常,使世界免于沦入莫衷一是的可怕境界.[12]社会成员是否共同遵守约定的风俗惯例对于群体的稳定与聚合至关重要.[13]“人们往往共享许多标准,并彼此希望坚持它们,如果他们这么做了,他们所在的社会将是有序的.”[14]因此,即使是在没有法律的原初社会,人类仍然能够借助那些自发形成的大数法则来有效地维持群体内部个体之间的合作与信任,并将群体塑造成一个紧密团结的社区.