P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量FQ共线，向

P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量FQ共线，向
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FN
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量FQ共线，向量MF与向量FN共线，且向量PF与向量MF的数量积为0，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值。

P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量FQ共线，向
向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上,PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为x=ky-k 则MN为x=-y/k+y/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2+1)y^2-4k^2y+2k^2-2=0 则 y1+y2=-b/a=4k^2/(2k^2+1)
联立MN和椭圆方程得(k^2+2)y^2-4y+2-2k^2=0 则y3+y4=-b/a=4/(k^2+2)
椭圆上的点到上焦点的距离=(c/a)d=√2/2, 其中d为该点到上准线的距离即y=a^2/c=2
PQ=(√2/2)*(2-y1+2-y2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(2-y3+2-y4)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值为16/9
当PQ、MN分别为椭圆的长轴和短轴时,面积最大S=2a*2b/2=2√2

∵

PF
•

MF
=0⇒

PF
⊥

MF
．即MN⊥PQ．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F（0，1）
∴MN的方程为：...

全部展开

∵

PF
•

MF
=0⇒

PF
⊥

MF
．即MN⊥PQ．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F（0，1）
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
分别代入椭圆x2+
y2
2
=1中得：|MN|=
2
，|PQ|=2
2
．
S四边形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
×
2
×2
2
=2
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1（k≠0），
代入椭圆x2+
y2
2
=1中得：（k2+2）x2+2kx-1=0，
∴x1+x2=-
2k
k2+2
，x1•x2=-
1
k2+2
∴|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[(2kk2+2)2+4k2+2]
=
22(1+k2)
k2+2
同理可得：|PQ|=
22(1+k2)
2k2+1
，
S四边形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=2×
2k4+4k2+1
2k4+5k2+2
=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)=2(1-
1
2(k2+1/k2)+5
)≥
16
9
（当且仅当k2=
1
k2
即k=±1时，取等号）．
又S四边形PMQN=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)＜2，∴此时
16
9
≤S四边形PMQN＜2．
综上可知：（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=
16
9 ．

收起