求证明 微积分导函数的题.(1)证明偶函数的导函数是奇函数.(2)证明奇函数的导函数是偶函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 07:45:13
求证明 微积分导函数的题.(1)证明偶函数的导函数是奇函数.(2)证明奇函数的导函数是偶函数.
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设f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)
设g(x)=f'(x),由导函数的定义可得
g(-x)=f'(-x)=lim(△x→0)[f(-x+△x)-f(-x)]/△x=-lim(-△x→0)[f(-(x-△x))-f(x)]/-△x=-lim(△x→0)[f(x-△x)-f(x)]/-△x==-lim(-△x→0)[f(x-△x)-f(x)]/△x=-g(x),这说明g(x)=f'(x)是奇函数!
若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
设g(x)=f'(x),由导函数的定义
则g(-x)=f'(-x)=lim(△x→0)[f(-x+△x)-f(-x)]/△x=lim(△x→0)[f(-(x-△x))+f(x)]/△x=lim(△x→0)[-[f(x-△x)-f(x)]]/△x=-lim(△x→0)[f(x-△x)-f(x)]/△x=lim(-△x→0)[f(x-△x)-f(x)]/-△x=g(x),这说明g(x)=f'(-x)是偶函数!
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