设三阶方阵A有特征值1,-3,-2,则A的逆的特征值是?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 00:36:46

设三阶方阵A有特征值1,-3,-2,则A的逆的特征值是?
设三阶方阵A有特征值1,-3,-2,则A的逆的特征值是?

设三阶方阵A有特征值1,-3,-2,则A的逆的特征值是?
基本知识：
设A是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得Ax=mx成立,则称m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue).非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量.
求矩阵特征值的方法：
Ax=mx,等价于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是单位矩阵,0为零矩阵.
|mE-A|=0,求得的m值即为A的特征值.|mE-A| 是一个n次多项式,它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值,这些根有可能相重复,也有可能是复数.
针对此题：
设m是A的特征值,x是A的属于特征值m的一个特征向量,则有：
Ax=mx,两边同时乘以A的逆矩阵,则：
A^(-1)*Ax=A^(-1)*mx,即x=A^(-1)*mx,故A^(-1)*m=E（单位矩阵）.
由此可看出,逆矩阵的特征值的1/m
即为：1,-1/3,-1/2
A和A的逆矩阵具有相同的特征向量
A的逆矩阵的特征值等于A特征值的倒数
A转置的特征值与A的特征值是相同的.

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