作业帮解析几何证明题证明存在不垂直于x轴的直线l与圆（x－1）^2＋y2＝9交于A、B两点,与椭圆x^2/4＋y^2＝1交于C、D两点,且满足|AC|＝|BD|,并求|AB|的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 03:54:30
解析几何证明题证明存在不垂直于x轴的直线l与圆（x－1）^2＋y2＝9交于A、B两点,与椭圆x^2/4＋y^2＝1交于C、D两点,且满足|AC|＝|BD|,并求|AB|的取值范围
解析几何证明题
证明存在不垂直于x轴的直线l与圆（x－1）^2＋y2＝9交于A、B两点,与椭圆x^2/4＋y^2＝1交于C、D两点,且满足|AC|＝|BD|,并求|AB|的取值范围
解析几何证明题证明存在不垂直于x轴的直线l与圆（x－1）^2＋y2＝9交于A、B两点,与椭圆x^2/4＋y^2＝1交于C、D两点,且满足|AC|＝|BD|,并求|AB|的取值范围
椭圆x^2/4＋y^2＝1①在圆（x－1）^2＋y2＝9②内部及边界,
∴由|AC|=|BD|,得AB与CD有相同中点,
设l:y=kx+b,③
把③代入①,x^2+4(k^2x^2+2bkx+b^2)=4,
整理得(1+4k^2)x^2+8bkx+4b^2-4=0,
△/16=4b^2k^2-(1+4k^2)(b^2-1)=-b^2+1+4k^2>0,④
(x1+x2)/2=-4bk/(1+4k^2),
把③代入②,x^2-2x+1+k^2x^2+2bkx+b^2=9,
整理得(1+k^2)x^2+(2bk-2)x+b^2-9=0,
△'/4=(bk-1)^2-(1+k^2)(b^2-9)=-2bk-b^2+10+9k^2>0,⑤
(x3+x4)/2=(1-bk)/(1+k^2),
AB与CD有相同中点,
∴(1-bk)/(1+k^2)=-4bk/(1+4k^2),
∴(1-bk)(1+4k^2)=-4bk(1+k^2),
∴1+3bk+4k^2=0,b=-(1+4k^2)/(3k),⑥
把⑥代入④,-(1+4k^2)^2/(9k^2)+1+4k^2>0,
-(1+4k^2)+9k^2>0,k^2>1/5,⑦
把⑥代入⑤,（1+4k^2)/(3k)*[2k-(1+4k^2)/(3k)]+10+9k^2>0,
两边都乘以9k^2,(1+4k^2)(2k^2-1)+90k^2+81k^4>0,
89k^4+88k^2-1>0,
(k^2+1)(89k^2-1)>0,k^2>1/89.⑧
由⑦,⑧,k^2>1/5,
∴k>√5/5或k1/5,被开方数=（5t-1)(t+1)/[t(4t+1)]=(5t^2+4t-1)/(4t^2+t),记为g(t),
g'(t)=[(10t+4)(4t^2+t)-(8t+1)(5t^2+4t-1)]/(4t^2+t)^2
=(-11t^2+8t+1)/(4t^2+t)^2
=-11[t-(4+3√3)/11][t-(4-3√3)/11]/(4t^2+t)^2,
1/5