在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式 2.求的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 21:47:01
在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式 2.求的最大值
在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式 2.求的最大值
在数列{an}中,a1=0,a(n+1)=-an+3^n,其中n=1.2.3...1.求数列的通项公式 2.求的最大值
解
(1) a(n+1)=-an+3^n
两边同时除 3^n 得
a(n+1) / 3^n = - an / 3^n +1
这里注意变形
a(n+1) / 3^n = (-1/3) *3 * an / 3^n +1
a(n+1) / 3^n = (-1/3) * an / 3^(n-1) +1
设数列 {bn} 令 bn = an / 3^(n-1) 得
b(n+1) = (-1/3)bn +1 其中 b1 = a1 / 3^(n-1) =0
两边同时 减 3/4 (这里用了构造法中 X = p / q-1 ,即
1 / [(-1/3)-1] ) 得
b(n+1) -3/4 = (-1/3)bn + 1 - 3/4
b(n+1) -3/4 = (-1/3)bn + 1/4
b(n+1) -3/4 = (-1/3)(bn- 3/4)
所以 {bn - 3/4} 是首项为 -3/4 公比为 -1/3 的等比数列
即 bn - 3/4 = (-3/4)* (-1/3)^(n-1)
bn = (-3/4)* (-1/3)^(n-1) + 3/4
因为 bn = an / 3^(n-1)
所以 an = [(-3/4)* (-1/3)^(n-1) + 3/4 ]* 3^(n-1)
最后化简得 an = (3/4)[3^(n-1) + (-1)^n]
(2) 没有最大值 只有最小值
最小值由通项可以知道
当 n = 1 时 an最小 a1=0