以R,r为半径的两圆互相外切,P为切点到外公切线的距离为d.求证1/R+1/r=2/d
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 20:32:56
以R,r为半径的两圆互相外切,P为切点到外公切线的距离为d.求证1/R+1/r=2/d
以R,r为半径的两圆互相外切,P为切点到外公切线的距离为d.
求证1/R+1/r=2/d
以R,r为半径的两圆互相外切,P为切点到外公切线的距离为d.求证1/R+1/r=2/d
设⊙M半径为R,⊙N半径为r,两圆外切于P,XY切⊙M于X,切⊙N于Y
则MX=R,NY=r,且MX、NY⊥XY
过P作PH⊥XY于H,则PH=d,下证1/MX+1/NY=2/HP,即1/R+1/r=2/d:
^2是平方
联结MN,则MN过P
1° MX=NY
由MX、NY⊥XY得MX∥NY,加上MX=NY,得四边形MXYN为平行四边形
则HY∥PN,由HP、NY⊥XY得HP∥NY,所以四边形HPNY为平行四边形
则HP=NY=MX,所以1/MX+1/NY=1/MX+1/MX=2/MX=2/HP
2° MX≠NY,不妨设MX>NY
过N作NR∥XY,交PH于Q、交MX于R
由于MX、PH、NY⊥XY,所以PX∥QH∥NY,加上NR∥XY
所以四边形NYHQ、QHXR都是平行四边形,有NY=QH=RX
则PQ=PH-QH=PH-NY=d-r,MR=MX-RX=MX-NY=R-r
在△MNR中,PQ∥MR,所以NP/MN=PQ/MR
而NP=NY=r,MN=MP+NP=MX+NY=R+r,已证PQ=d-r,MR=R-r
所以r/(R+r)=(d-r)/(R-r)
(d-r)(R+r)=r(R-r)
d(R+r)-Rr-r^2=Rr-r^2
则d=2Rr/(R+r),d/2=Rr/(R+r)
所以2/d=(R+r)/(Rr)=R/(Rr)+r/(Rr)=1/r+1/R
综上所述,有1/R+1/r=2/d