等腰三角形周长为4,使其绕底边上的高旋转180度形成一个几何体,则当几何体体积最大时,等腰三角形的腰长为多少?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 17:33:18

等腰三角形周长为4,使其绕底边上的高旋转180度形成一个几何体,则当几何体体积最大时,等腰三角形的腰长为多少?
等腰三角形周长为4,使其绕底边上的高旋转180度形成一个几何体,则当几何体体积最大时,等腰三角形的腰长为多少?

等腰三角形周长为4,使其绕底边上的高旋转180度形成一个几何体,则当几何体体积最大时,等腰三角形的腰长为多少?
这个几何体是一个圆锥
设等腰三角形的腰长为x, 底边长为2y
则周长为2x+2y=4,得x+y=2
显然,x>y>0,所以设x=1+t,y=1-t;,其中 1>t>0
旋转后的圆锥,底面半径为y;,高为 根号下(x^2-y^2)
所以圆锥的体积是V=1/3*pi*y^2*根号下(x^2-y^2)
用t来表示,得
V=1/3*pi*(1-t)^2*根号下(4t)
毫无疑问,我们只要求出(1-t)^2*根号下(4t)在什么时候取最大值就可以了
也就是,要求(1-t)^4*(4t)在何时取最大值
注意到均值不等式的使用
(1-t)^4*4t=(1-t)(1-t)(1-t)(1-t)*4t
<= { [(1-t)+(1-t)+(1-t)+(1-t)+4t]/4 }^4
=1
当且仅当1-t=4t ,即t=0.2时,取最大值
所以t=0.2时,V最大
此时 ,腰长x=1+t=1.2

腰长d约等于1.9167
楼上的答案是正确的，我的算错了

要分类讨论
①当以6为底时，则另外两边相等且和为10，所以各为5.
②当以6为腰时，则另外两边中有一边和6相等也为腰，且另外两边和为10，所以各为6和4.

用一楼的吧

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