牛顿二项公式是什么?最好有推导过程,

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牛顿二项公式是什么?最好有推导过程,

世纪的审判
曹亮吉


1710年有人正式指控莱布尼兹的微积分是抄袭自牛顿的。 1711年莱布尼兹请求英国皇家学会澄清他的名誉。皇家学会为此成立的特别委员会，于1712年判定莱布尼兹的确有罪。然而今天我们都说牛顿与莱布尼兹各自发展了有系统的微积分，都是微积分的创始人。牛、莱之争是科学史上耐人寻味的事件，其前因后果的探讨实有助于了解科学发展的人性层面...

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世纪的审判
曹亮吉


1710年有人正式指控莱布尼兹的微积分是抄袭自牛顿的。 1711年莱布尼兹请求英国皇家学会澄清他的名誉。皇家学会为此成立的特别委员会，于1712年判定莱布尼兹的确有罪。然而今天我们都说牛顿与莱布尼兹各自发展了有系统的微积分，都是微积分的创始人。牛、莱之争是科学史上耐人寻味的事件，其前因后果的探讨实有助于了解科学发展的人性层面。
牛顿生于1642年，于1664到1666年间形成了他的微积分系统。莱布尼兹生于1646年，他的微积分形成年代为1672到1676年。从时间来看，莱布尼兹落后了，使他在这场谁先谁后谁抄谁的纷争中居于不利的地位。
牛顿的第一本微积分的著作《论分析》(De Analysi)，于1669年在其朋友间开始流传，但直到1711年才出版。他在1669年继其老师Barrow之后成为剑桥大学的Lucasian教授（Henry Lucas捐赠的讲座）。他讲的是数学与物理，不免要提到微积分，但莱布尼兹无缘受教。他的讲义按规定要列入学校的档案，当然莱布尼兹也没机会看到。牛顿在1672年入选为皇家学会院士后，马上就将其有名的光学实验提出报告，然而妒火中烧的Hooke（Robert, 1635～1703年，虎克定律的发明者）却予无理与无情的攻击。如此一来，牛顿更视发表为畏途。牛顿的第二本微积分著作《流数法与无穷级数》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，成书于1671年，但直到1736年才出版。第三本著作《曲线求积法》(Tractatus de Quadratura Curvarum)成书于1676年，但直到1704年才发表。牛顿的《Principia》出版于1687年，其数学演算虽然用的是微积分，但表现在书上的却用的是古典几何学的方法。与牛顿相反，莱布尼兹有关微积分的论文，却从1684年开始就正式陆续发表了。

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牛顿
所以从出版的时间来看，莱布尼兹不但可以洗清罪名，甚至使有些人有理由反过来认定莱布尼兹才是微积分真正的创始人。然而这都不是关键之所在。
我们说过莱布尼兹因为外交任务于1672年到1676年间滞留于巴黎。在这段时间内，他开始了微积分的创造注1 。 1673年一月他为了促进英国与荷兰之间的和平协议，前往伦敦。他遇到了Oldenburg、Pell、Hooke及Boyle等英国学者，从他们那儿知道许多科学的进展，为他的创造生涯添加了不少的力量，同时他也入选为英国皇家学会的院士。
莱布尼兹和牛顿从来没见过面，但彼此间却间接通过信，而这就种下了日后纷争的主要来源。 1676年莱布尼兹请英国皇家学会的秘书Oldenburg说明牛顿与Wallis所用的方法。牛顿于六月十三日及十月廿四日先后两次写信给Oldenburg，其目的就是要莱布尼兹知晓其内容。这就是有名的前信(epistola prior)及后信(epistola posterior)注2 。
前信是这样开始的：
「虽然在你给我有关莱布尼兹信件的摘要中，他很客气地称赞了我们英国人在无穷级数上的贡献，然而我毫不犹疑地认为，就如他所说的，他已经发现一种方法可以把任何数学量表成无穷级数；不但如此，而且可以表成各种更简单的形式——这些形式可能就如我们所知的，如果不是更好的话。然而既然他想知道英国人在这方面已经发现了什么，而且我自己在这上面也花了好几年的工夫，我就我想到的，把其中的一些事情写下来，希望能满足他的（部分）愿望。
分式可经由长除法而变成无穷级数；根式可用开方的方法，就像在计算数值的开方那样，我们只要以符号进行这些计算就好。但根式的计算用下面的定理来得简短些，……」
牛顿接着写下他的二项展开式，并举了一些应用的例子。这一封信一方面确立了牛顿在二项展开式方面的领先地位，而在信中，他不但没有说明他如何得到二项展开式，而且所举的例子都是当时大家都已熟知的。所以实际上，莱布尼兹从这封信学不到什么。
莱布尼兹于八月十七日回了信，叙述了他自己的一些发现，暗示他有个一般的方法。他提到好几个级数，包括著名的

牛顿对此感到兴趣，他的后信是这样开始的：
「读了莱布尼兹及Tschirnhaus注3这两位名家的信函，我真不知怎么说我有多么高兴。莱布尼兹得到收敛级数的方法非常高明；纵使他不再有其他著作，这已足够显示其才气。然而他在信中其他地方随处可见的见解，更是名副其实——这使我们更期望他能创造更伟大的结果。朝向同一目标而有各种不同的方法，使我愉快逾常；因为我已经知道三种算得这一类级数的方法，所以我几乎不曾预期还会有一种新的方法出现。在前信中我已经说过其中的一种，现在我再说另外一种，亦即我第一次发现的方法——在我知道现在我所用的长除法与开方法之前。底下的说明可以把前信开头的定理来源呈现得清清楚楚——这正是莱布尼兹先生所期望于我者。」
牛顿除了说明他如何得到二项展开式注4之外，他还给出

的展开式，但没有证明。他指出莱布尼兹有关圆周率的公式也不过是这个展开式的特例（,e=f=1,,）。然后又写出

「为弦长为1的四分之一圆的弧长注5 ，或者同样地，

为其半长。因为它和其他级数一样简单，但收敛得更快，所以你和你的朋友大概不会轻视它。对我而言，我看得更积极，认为它更有用，对解决问题而言更省力。 」
从后信的内容来看，牛顿的级数方法的确比莱布尼兹的高明，而莱布尼兹也能从其中窥知牛顿微积分的精神。但莱布尼兹的微积分，从1684年起所发表的论文看来，却和牛顿的，在方法上、精神上都大大不相同注6 。牛顿在推销自己的想法方面是被动的，莱布尼兹则较积极，而且他的微积分符号又具直观，非常好用。于是莱布尼兹逐渐成为一群活跃的数学家的领袖，这使英国学者很不是味道，他们认为莱布尼兹从牛顿的那两封信得到重大的启示——牛顿也这么认为，而且在1673年及1676年两次短暂的英国访问中学得了牛顿的结果，但他居然从未公开如此表示过，所以令人感到不高兴。
英国数学家Wallis在其全集的序文中说，无穷小的方法是牛顿首先发明的，而且暗示莱布尼兹抄袭了牛顿。在全集中，又载有前后两信及莱布尼兹与Oldenburg来往信函的一些内容摘要。这些摘要的剪裁使人更确信莱布尼兹抄袭的罪行。这是1695年到1699年间的事。
莱布尼兹于1700年时辩解说，他从牛顿那儿得到的是结果，而不是方法，而且在1684年他就发表了他的主要观点，而牛顿的作品《Principia》要到1687年才刊行。
指控与辩解不就因此而消失。到了1705年，牛顿不满莱布尼兹对其著作《Optics》（1704年，牛顿的第三本微积分著作为其附录）的一些评语，于是暗中把许多资料交给John Keill，而后者终于在1710年提出正式的指控。
被告的是英国皇家学会的外籍院士莱布尼兹，控方的背后主角是皇家学会会长牛顿，而皇家学会的委员会在调查的过程中也不请莱布尼兹来做说明，调查的结果也就可想而知了。

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莱布尼兹
皇家学会的审判定了案，但历史的蕃判才刚开始，牛顿用数学方法解决科学的问题，激起十八世纪欧洲大陆的数学家发挥微积分的最大威力——但他们用的是莱布尼兹的符号及无穷小的想法，使数学与物理有长足的进步。而英国的数学家却沉醉于牛顿的成就，执着于牛顿的微积分符号，难懂的极限观念及《Principia》中的古典几何表示法，自外于欧陆的进展而不自觉。等到1813年，英国部分科学家幡然梦醒，成立「分析学社」(Analystic Society)，译介欧陆的科学著作，采用莱布尼兹的符号与想法时，英国早就失去了科学研究的主导地位。
近代有关这段数学史的研究，更肯定莱布尼兹的微积分是独立发展的。经此长达二百年以上的历史审判，最后的输家却是牛顿的徒子徒孙。
原文是繁体，用google翻译了

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牛顿根本没有二项公式,也许有,但,英国人可能知道.

广义相对论中的开普勒问题，是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题。在典型情况下以及本文中，其中一个物体的质量和另一个物体的质量相比可忽略，这种近似对应着实际情形中地球绕太阳公转，以及一个光子在一颗恒星的引力场中的运动等问题。在这些情形下，可以认为大质量的位置在空间中是固定的，并且只有大质量的引力场对周围时空曲率变化有贡献。这时的时空曲率可由爱因斯坦场方程的史瓦西解来描述；而小...

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广义相对论中的开普勒问题，是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题。在典型情况下以及本文中，其中一个物体的质量和另一个物体的质量相比可忽略，这种近似对应着实际情形中地球绕太阳公转，以及一个光子在一颗恒星的引力场中的运动等问题。在这些情形下，可以认为大质量的位置在空间中是固定的，并且只有大质量的引力场对周围时空曲率变化有贡献。这时的时空曲率可由爱因斯坦场方程的史瓦西解来描述；而小质量（以下简称“粒子”）的运动可由史瓦西解的测地线方程来描述。由于假设小质量是点状的无尺寸粒子，两者之间的潮汐力可忽略。
从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据，著名的水星近日点的进动，以及光线在太阳引力场中的偏折。对于前者，广义相对论为观测到的这一现象提供了漂亮的解释，而后者则是广义相对论的著名预言，其正确性被亚瑟·爱丁顿爵士的实验观测所证实。
广义相对论的两体问题中还涉及了引力辐射造成的轨道衰减，这是一个纯粹的相对论效应，没有对应的经典力学版本。这个问题并不包含在史瓦西解中，请参见引力辐射和引力波天文学。

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