作业帮过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 00:50:14
过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程
过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程
过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程
(1)假如直线的斜率不存在,即直线为y=1 .
此时直线与椭圆的交点为(-√3/3,1),(√3/3,1)
弦长=2√3/3≠√10/2
(2)设直线的斜率为k,A(x1,y1)B(x2,y2)
直线方程y=kx+1-----------①
椭圆方程3x^2+y^2=2-----②
把①代入②中消去y得
（3+k^2)x^2+2kx-1=0
则x1+x2=-2k/(3+k^2),x1x2=-1/(3+k^2)
由弦长公式|AB|=√{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4*x1x2]}=10/2
解得k^2=1,-21/11(舍去)
所以k=-1,1
所以直线为y=x+1或者y=-x+1
设经过（0，1）的直线方程为：y=kx+1,
A(x1,y1，B（x2,y2),
代入椭圆方程，
3x^2+(kx+1)^2=2,
(3+k^2)x^2+2kx-1=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2k/(3+k^2),
x1*x2=-1/(3+k^2),
根据弦长公式 ，
|AB|=√[（1+k^2)(x1-x2)^2]...
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设经过（0，1）的直线方程为：y=kx+1,
A(x1,y1，B（x2,y2),
代入椭圆方程，
3x^2+(kx+1)^2=2,
(3+k^2)x^2+2kx-1=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2k/(3+k^2),
x1*x2=-1/(3+k^2),
根据弦长公式 ，
|AB|=√[（1+k^2)(x1-x2)^2]
=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2)[(4k^2/(3+k^2)^2+4/(3+k^2)]
[2/(3+k^2)]√(1+k^2)(2k^2+3)=√10/2，
11k^4+10k^2-21=0,
(11k^2+21)(k^2-1)=0,
k^2=-21/11,(无实根，舍去），
∴k^2=1,
∴k=±1，
∴直线方程为：y=±x+1.
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