作业帮什么是数列的二阶特征方程?能否用初中或高中知识解决.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 00:04:29
什么是数列的二阶特征方程?能否用初中或高中知识解决.
什么是数列的二阶特征方程?能否用初中或高中知识解决.
什么是数列的二阶特征方程?能否用初中或高中知识解决.
高中竞赛知识有,
基础知识
1．斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市,是一名闻名于欧洲的数学家,其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等.在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列,即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子,每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子,每月一次,如此下去.年初时兔房里放一对大兔子,问一年以后,兔房内共有多少对兔子?
这就是非常著名的斐波那契数列问题.其实这个问题的解决并不是很困难,可以用表示第个月初时免房里的免子的对数,则有,第个月初时,免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子,共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子,共有对,于是有.
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求?为了解决这个问题,我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法.
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（）,其特征方程为,其根为特征根.
（1）若特征方程有两个不相等的实根,则其通项公式为（）,其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根,则其通项公式为（）,其中A、B由初始值确定.（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）
因此对于斐波那契数列,对应的特征方程为,其特征根为：
,所以可设其通项公式为,利用初始条件得,解得
所以.
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式.斐波那契数列有许多生要有趣的性质,如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的,但用它计算出的每一项却都是整数.斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用.为了方便大家学习这一数列,我们给出以下性质：（请同学们自己证明）
（1）斐波那契数列的前项和；
（2）；
（3）（）；
（4）（）；
（5）（）；
2．分群数列
将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将作为第一组,将作为第二组,将作为第三组,……依次类推,第组有个元素,即可得到以组为单位的序列：（）,（）,（）,……我们通常称此数列为分群数列.
一般地,数列{}的分群数列用如下的形式表示：（）,（）,（）,……,其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个括号称为第3群,……,第个括号称为第群,而数列{}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群中,且从第个括号的左端起是第个,则称这个元素为第群中的第个元素.
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列.如对数列{}分群,还可以得到下面的分群数列：
第个群中有个元素的分群数列为：（）,（）,（）…；
第个群中有个元素的分群数列为：（）,（）,（）…等等.
3．周期数列
对于数列{},如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列.若,则称数列{}为纯周期数列,若,则称数列{}为混周期数列,T的最小值称为最小正周期,简称周期.
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列,其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
（3）如果T是数列{}的周期,则对于任意的,也是数列{}的周期；
（4）如果T是数列{}的最小正周期,M是数列{}的任一周期,则必有T|M,即M=（）；
（5）已知数列{}满足（为常数）,分别为{}的前项的和与积,若,则,；
（6）设数列{}是整数数列,是某个取定大于1的自然数,若是除以后的余数,即,且,则称数列是{}关于的模数列,记作.若模数列是周期的,则称{}是关于模的周期数列.
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列.