作业帮已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:33:43
已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).
已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).
已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),①
令x=y=0得f(0)=2f(0),f(0)=0.
令y=-x,得f（0)=f(x)+f(-x),
∴f(x)是奇函数.
令y=x,得f(2x)=2f(x)+2x^3,
猜f(x)=ax^3+bx,
8ax^3+2bx=(2a+2)x^3+2bx,
比较系数得8a=2a+2,a=1/3,
f(x)=(1/3)x^3+bx,
f'(x)=x^2+b,
f'(0)=b=1.
∴f(x)=(1/3)x^3+x.
检验：f(x+y)=(1/3)(x+y)^3+x+y
=(1/3)x^3+x+(1/3)y^3+y+xy(x+y)
=f(x)+f(y)+xy(x+y).
f1(x)=(1/3)x^3+x.
下面证明本题仅此一设f(x）=f1(x)+g(x),由①,
f1(x+y)+g(x+y)=f1(x)+g(x)+f1(y)+g(y)+xy(x+y),
∴g(x+y)=g(x)+g(y),
∴g(x)=kx(k为常数）,f(x)=f1(x)+kx,
f'(x)=f1'(x)+k,
令x=0得1=1+k,k=0,
∴f(x)=f1(x).
题目会不会出错了？
已知函数f(x)=3x,求证:f(x)+f(y)=f(x+y)
已知f(xy)=f(x)+f(y),求证f(x/y)=f(x)-f(y)
已知f(x)=3^x,求证：(1)f(x)·f(y)=f(x+y);(2)f(x)/f(y)=f(x-y).
已知f（x+y）=f(x)+f(y),证明f(x)奇偶性
已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).
f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y)
已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y)
已知f(x+y,y/x)=x^2-y^2,则f(x,y)=
已知y=f(x),x属于(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),F(x)的奇偶性
y=f(f(f(x))) 求导
已知f(x+y)=f(x)乘以f(y),且f(x)不等于0,证明f(x)>0
已知f(x+y)=f(x)f(y) 且f(x)不等于0 证明f(x)>0恒成立
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
已知f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,求f(0)
y=f(x),
已知：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),x.y取任何实数且f(0)不等于0,求证：f(x)为偶函数
已知f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)
已知函数f(x)=lg1-x/1+x,求证f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)