作业帮计算∫∫yzdzdx+2dxdy,其中∑是上半球面z=√（4-x^2-y^2）的上侧
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 11:29:22
计算∫∫yzdzdx+2dxdy,其中∑是上半球面z=√（4-x^2-y^2）的上侧
计算∫∫yzdzdx+2dxdy,其中∑是上半球面z=√（4-x^2-y^2）的上侧
计算∫∫yzdzdx+2dxdy,其中∑是上半球面z=√（4-x^2-y^2）的上侧
添加∑1：z=0下侧,由高斯公式：
∫∫∑+∑1=∫∫∫zdxdydz
∫∫∑=-∫∫(∑1)2dxdy+∫∫∫zdxdydz
=8π+(1/2)∫∫(4-x^2-y^2)dxdy
=8π+(1/2)∫(0,2π)dθ∫(0,2)r(4-r^2)dr
=8π+π∫(0,2)(4r-r^3)dr
=12π
方法一：高斯公式。
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4)，取上侧。则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π。∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π。
方法二：上半球面上侧的法向量n=(x,y,z)，所以dzdx=y/zdxd...
全部展开
方法一：高斯公式。
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4)，取上侧。则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π。∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π。
方法二：上半球面上侧的法向量n=(x,y,z)，所以dzdx=y/zdxdy，所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) (y^2+2)dxdy=∫∫(D) (y^2+2) dxdy=12π，其中D是x^2+y^2≤4。
方法三：∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。∑分为两部分∑1:y=√(4-x^2-z^2)，取右侧；∑2:y=-√(4-x^2-z^2)，取左侧。∑1与∑2:在zox面上的投影都是D:x^2+z^2≤4,z≥0。∫∫(∑) yzdzdx=∫∫(∑1) yzdzdx+∫∫(∑2) yzdzdx=2∫∫(D) z×√(4-x^2-z^2)dzdx=4π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=12π。
收起